Задача 3. На клетчатой бумаге есть квадрат размером 4×4 клетки (см. рисунок 42, а). Сколько есть способов разделить

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Для начала, нарисуем квадрат размером 4×4 клетки:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы должны разделить этот квадрат на две равные части таким образом, чтобы линия раздела проходила по линиям клеток. Но при этом многоугольники, получаемые при одном способе, не должны быть одинаковыми с многоугольниками, получаемыми при другом способе.

Давайте представим, что у нас есть линия раздела, которая проходит горизонтально через квадрат. Мы можем поставить эту линию в любом месте между двумя горизонтальными линиями клеток. Таким образом, у нас есть три возможных положения для линии раздела:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\text{линия} & \text{разделяющая} & \text{полоса} & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте рассмотрим каждое возможное положение.

1) Линия раздела проходит между верхней и второй горизонтальной линией клеток. В этом случае у нас получается две равные части.

2) Линия раздела проходит между второй и третьей горизонтальной линией клеток. В этом случае у нас также получается две равные части.

3) Линия раздела проходит между третьей и нижней горизонтальной линией клеток. И в этом случае мы снова получаем две равные части.

Таким образом, мы имеем три возможных способа разделить квадрат на две равные части по заданным условиям.

Теперь давайте рассмотрим различные многоугольники, на которые можно разделить квадрат.

Когда линия раздела проходит между верхней и второй горизонтальной линией клеток, мы можем получить следующие многоугольники:

1) Многоугольник, состоящий из верхней половины квадрата.

2) Многоугольник, состоящий из нижней половины квадрата.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
* & * & * & * \\
\hline
* & * & * & * \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{array}
\]

Аналогично, при других положениях линии раздела, мы также получаем два различных многоугольника.

Таким образом, всего у нас есть 6 различных многоугольников, на которые можно разделить данный квадрат, при условии что линия раздела проходит по линиям клеток.

Надеюсь, это объяснение ясно и понятно. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!