Задача 14. Каково количество натуральных делителей числа 15 в 9-й степени, которые являются точными квадратами, точными

Задача 14:
Для решения этой задачи, нам нужно разложить число 15 в 9-й степени на простые множители и посчитать количество делителей, которые являются точными квадратами, точными кубами или и тем, и другими одновременно.

Сперва найдем 9-ю степень числа 15:
$${15}^9=(3\times 5{)}^9=3^9\times 5^9$$

Теперь, чтобы найти количество натуральных делителей числа 15 в 9-й степени, которые являются точными квадратами, точными кубами или и тем, и другими одновременно, мы должны взять только те простые делители числа 15, которые имеют степень 0, 2, 3 и 6.

Простые множители числа 15: 3 и 5
Теперь разложим каждый множитель на степени делителей:
3: степень 0, степень 2, степень 3, степень 6
5: степень 0, степень 2, степень 3, степень 6

Таким образом, у нас есть все возможные комбинации степеней делителей 3 и 5, которые являются точными квадратами, точными кубами или и тем, и другими одновременно:
(степень 0 степени 0), (степень 0 степень 2), (степень 0 степень 3), (степень 0 степень 6),
(степень 2 степень 0), (степень 2 степень 2), (степень 2 степень 3), (степень 2 степень 6),
(степень 3 степень 0), (степень 3 степень 2), (степень 3 степень 3), (степень 3 степень 6),
(степень 6 степень 0), (степень 6 степень 2), (степень 6 степень 3), (степень 6 степень 6)

Итак, общее количество натуральных делителей числа 15 в 9-й степени, которые являются точными квадратами, точными кубами или и тем, и другими одновременно, равно 16.

Задача 15:
Мы ищем клетчатую фигуру, периметр которой больше площади в 7/6 раз. Площадь одной клетки равна 1.

Пусть сторона каждой клетки равна $x$. Тогда площадь одной клетки будет $x^2$.

Теперь вычислим периметр фигуры. Учитывая, что наша фигура клетчатая, у нее будет две стороны, где сторона клетки будет горизонтальной, и две стороны, где сторона клетки будет вертикальной. Таким образом, всего у фигуры будет 4 стороны.

Периметр фигуры равен $2h+2v$, где $h$ - длина горизонтальной стороны фигуры, а $v$ - длина вертикальной стороны фигуры.

Также по условию задачи, периметр фигуры больше площади в 7/6 раз. Из этого следует, что:
$$2h+2v>\frac{7}{6}\cdot x^2$$

Мы уже знаем, что площадь одной клетки равна 1. Значит, площадь всей фигуры, состоящей из $n$ клеток, будет равна $n\cdot x^2$.

Теперь подставим это в наше неравенство:
$$2h+2v>\frac{7}{6}\cdot n\cdot x^2$$

Мы также знаем, что длина стороны клетки равна 1, то есть $x=1$.

Теперь зададим $n$ в виде $n=a\times b$, где $a$ - количество клеток в горизонтальной стороне, а $b$ - количество клеток в вертикальной стороне.
Тогда наше неравенство примет вид:
$$2\times a+2\times b>\frac{7}{6}\cdot a\cdot b$$

Для нахождения клетчатой фигуры такой, что периметр ее больше площади в 7/6 раз, мы можем просто попробовать различные значения для $a$ и $b$, начиная с наименьших возможных целых значений.
Таким образом, одна из клетчатых фигур, удовлетворяющая условиям задачи, может иметь следующие значения для $a$ и $b$:
$a=2$, $b=3$