Задача 1: В рамках данной задачи, требуется выполнить следующие действия для схемы линейной электрической цепи

Формулы. Для начала, давайте рассмотрим данную схему линейной электрической цепи постоянного тока, изображенную на рис. 1.1.


Анализ цепи и количество уравнений:
Для решения данной задачи необходимо провести анализ цепи и определить количество уравнений, которые потребуется решить. В данной схеме присутствует 4 ветви, каждая из которых содержит элементы: сопротивление $R_i$ и источник постоянного тока $I_i$. Для каждого элемента сопротивления и источника тока будет необходимо составить уравнения. Количество уравнений равно количеству элементов в цепи. В данном случае у нас будет 4 уравнения.

Система уравнений на основе законов Кирхгофа:
Теперь на основе законов Кирхгофа составим систему уравнений, которая позволяет определить токи в каждой ветви цепи. Законы Кирхгофа включают закон узлового равенства и закон петлевого равенства.

Закон узлового равенства гласит, что сумма входящих в узел токов равна сумме исходящих токов. В данной задаче у нас есть только один узел, поэтому данное уравнение будет выглядеть следующим образом:

$$I_1+I_2=I_3+I_4$$

Закон петлевого равенства гласит, что сумма падений напряжений в замкнутой контуре равна сумме ЭДС в этом контуре. Рассмотрим каждую петлю по отдельности:

- Петля 1: $-R_1\cdot I_1+R_2\cdot I_2-R_3\cdot I_3=0$
- Петля 2: $R_2\cdot I_2-R_4\cdot I_4=0$
- Петля 3: $R_3\cdot I_3-R_5\cdot I_4=0$

Метод контурных токов и расчёт токов в цепи:
Для расчёта токов в цепи будем использовать метод контурных токов. Для этого введем неизвестные токи $I_1$, $I_2$, $I_3$, и $I_4$, которые будут течь по ветвям цепи.

Учитывая полученные уравнения из законов Кирхгофа, система уравнений на контурные токи будет выглядеть следующим образом:

$$\begin{array}{rl}-R_1\cdot I_1+R_2\cdot I_2-R_3\cdot I_3& =0\\ R_2\cdot I_2-R_4\cdot I_4& =0\\ R_3\cdot I_3-R_5\cdot I_4& =0\\ I_1+I_2& =I_3+I_4\end{array}$$

Баланс мощностей цепи:
Для проверки правильности расчета токов в цепи необходимо составить баланс мощностей. Мощность в цепи равна произведению напряжения на ток. Для каждого элемента цепи посчитаем мощность и проверим, что сумма мощностей потребляемых элементами цепи равна сумме мощностей, выделяемой каждым источником тока.

Мощности каждого элемента цепи:

- Элемент 1: $P_1=R_1\cdot I_1^2$
- Элемент 2: $P_2=R_2\cdot I_2^2$
- Элемент 3: $P_3=R_3\cdot I_3^2$
- Элемент 4: $P_4=R_4\cdot I_2^2$
- Элемент 5: $P_5=R_5\cdot I_4^2$

Проверка баланса мощностей:

$$P_1+P_2+P_3+P_4+P_5=I_1^2\cdot R_1+I_2^2\cdot (R_2+R_4)+I_3^2\cdot R_3+I_4^2\cdot R_5$$

Если полученная сумма равна сумме мощностей источников тока в цепи, то расчет токов был выполнен правильно.

Таким образом, мы выполнили задачу по анализу данной линейной электрической цепи. Мы определили количество уравнений, составили систему уравнений на основе законов Кирхгофа, произвели расчет токов с использованием метода контурных токов, а также проверили баланс мощностей в цепи.