Задача 1: В рамках данной задачи, требуется выполнить следующие действия для схемы линейной электрической цепи

Формулы. Для начала, давайте рассмотрим данную схему линейной электрической цепи постоянного тока, изображенную на рис. 1.1.


Анализ цепи и количество уравнений:
Для решения данной задачи необходимо провести анализ цепи и определить количество уравнений, которые потребуется решить. В данной схеме присутствует 4 ветви, каждая из которых содержит элементы: сопротивление \(R_i\) и источник постоянного тока \(I_i\). Для каждого элемента сопротивления и источника тока будет необходимо составить уравнения. Количество уравнений равно количеству элементов в цепи. В данном случае у нас будет 4 уравнения.

Система уравнений на основе законов Кирхгофа:
Теперь на основе законов Кирхгофа составим систему уравнений, которая позволяет определить токи в каждой ветви цепи. Законы Кирхгофа включают закон узлового равенства и закон петлевого равенства.

Закон узлового равенства гласит, что сумма входящих в узел токов равна сумме исходящих токов. В данной задаче у нас есть только один узел, поэтому данное уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[I_1 + I_2 = I_3 + I_4\]

Закон петлевого равенства гласит, что сумма падений напряжений в замкнутой контуре равна сумме ЭДС в этом контуре. Рассмотрим каждую петлю по отдельности:

- Петля 1: \(-R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2 - R_3 \cdot I_3 = 0\)
- Петля 2: \(R_2 \cdot I_2 - R_4 \cdot I_4 = 0\)
- Петля 3: \(R_3 \cdot I_3 - R_5 \cdot I_4 = 0\)

Метод контурных токов и расчёт токов в цепи:
Для расчёта токов в цепи будем использовать метод контурных токов. Для этого введем неизвестные токи \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), и \(I_4\), которые будут течь по ветвям цепи.

Учитывая полученные уравнения из законов Кирхгофа, система уравнений на контурные токи будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{align*}
-R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2 - R_3 \cdot I_3 &= 0 \\
R_2 \cdot I_2 - R_4 \cdot I_4 &= 0 \\
R_3 \cdot I_3 - R_5 \cdot I_4 &= 0 \\
I_1 + I_2 &= I_3 + I_4
\end{align*}
\]

Баланс мощностей цепи:
Для проверки правильности расчета токов в цепи необходимо составить баланс мощностей. Мощность в цепи равна произведению напряжения на ток. Для каждого элемента цепи посчитаем мощность и проверим, что сумма мощностей потребляемых элементами цепи равна сумме мощностей, выделяемой каждым источником тока.

Мощности каждого элемента цепи:

- Элемент 1: \(P_1 = R_1 \cdot I_1^2\)
- Элемент 2: \(P_2 = R_2 \cdot I_2^2\)
- Элемент 3: \(P_3 = R_3 \cdot I_3^2\)
- Элемент 4: \(P_4 = R_4 \cdot I_2^2\)
- Элемент 5: \(P_5 = R_5 \cdot I_4^2\)

Проверка баланса мощностей:

\[P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 = I_1^2 \cdot R_1 + I_2^2 \cdot (R_2 + R_4) + I_3^2 \cdot R_3 + I_4^2 \cdot R_5\]

Если полученная сумма равна сумме мощностей источников тока в цепи, то расчет токов был выполнен правильно.

Таким образом, мы выполнили задачу по анализу данной линейной электрической цепи. Мы определили количество уравнений, составили систему уравнений на основе законов Кирхгофа, произвели расчет токов с использованием метода контурных токов, а также проверили баланс мощностей в цепи.