Задача 1. Необходимо продемонстрировать, что сумма квадратов двух чисел больше или равна разности удвоенной суммы этих

Задача 1:
Для доказательства неравенства суммы квадратов двух чисел и разности удвоенной суммы этих чисел и числа два, давайте рассмотрим два произвольных числа \(a\) и \(b\).

Сумма квадратов этих чисел равна \(a^2 + b^2\) (1).
Разность удвоенной суммы этих чисел и двух равна \(2(a + b) - 2\) (2).

Наша задача - доказать, что (1) больше или равно (2).

Преобразуем выражение (1):

\[a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\]

Теперь подставим это в выражение (2):

\[2(a + b) - 2 \leq (a + b)^2 - 2ab\]

Раскроем скобки:

\[2a + 2b - 2 \leq a^2 + 2ab + b^2 - 2ab\]

Упростим выражение:

\[2a + 2b - 2 \leq a^2 + b^2\]

Для удобства, перепишем это неравенство в другой форме:

\[a^2 - 2a + b^2 - 2b \geq 2\]

Для доказательства данного неравенства, применим дополнение к квадрату:

\[a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 \geq 2 + 1 + 1\]

Теперь преобразуем выражение:

\[(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 4\]

Мы знаем, что квадрат любого числа неотрицателен, то есть \((a - 1)^2\) и \((b - 1)^2\) больше или равны нулю. Таким образом, их сумма также будет больше или равна нулю:

\[(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 0\]

Следовательно, неравенство выполняется, и мы доказали, что сумма квадратов двух чисел больше или равна разности удвоенной суммы этих чисел и числа два.

Задача 2:
Для доказательства того, что любое нечетное число, кроме единицы, может быть выражено как разность двух квадратов, давайте рассмотрим произвольное нечетное число \(n\) (\(n \neq 1\)).

Мы знаем, что квадрат любого четного числа - это число кратное 4. Поэтому, если разность двух квадратов равна нечетному числу, то одно из чисел должно быть нечетным, а другое - четным.

Предположим, что нечетное число \(n\) может быть выражено как разность двух квадратов \(a^2 - b^2\). Тогда можем записать:

\[n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]

Заметим, что разность \(a^2 - b^2\) - это произведение двух множителей \((a - b)\) и \((a + b)\).

Так как число \(n\) нечетное, то и \(a\) и \(b\) должны быть разной четности. Пусть, например, \(a\) - нечетное число, а \(b\) - четное число.

Тогда у нас есть два случая:

1) Если \((a - b)\) и \((a + b)\) являются четными числами. В этом случае произведение двух четных чисел также будет четным числом, что противоречит условию.

2) Если \((a - b)\) и \((a + b)\) являются нечетными числами. В этом случае произведение двух нечетных чисел будет нечетным числом, что удовлетворяет условию.

Таким образом, мы доказали, что любое нечетное число, кроме единицы, может быть выражено как разность двух квадратов.

Задача 3:
Для доказательства того, что любое натуральное число, оканчивающееся на пять, может быть записано в виде \(10a + 5\), где \(a\) - некоторое целое число, рассмотрим произвольное натуральное число оканчивающееся на пять. Пусть это число будет \(n\).

Мы можем записать это число, используя произведение \(10a\) и прибавив 5:

\[n = 10a + 5\]

Очевидно, что пятый соседний элемент от любого числа отличается от этого числа ровно на 5 единиц (например, 15 и 20 отличаются на 5). Поэтому, любое натуральное число, оканчивающееся на пять, можно записать в виде \(10a + 5\), где \(a\) - некоторое целое число.

Теперь, давайте докажем, что при вычислении квадрата такого числа, можно приписать 25 к произведению.

Возьмем произвольное натуральное число, оканчивающееся на пять, и обозначим его за \(n\). Как мы только что показали, мы можем записать это число в виде \(n = 10a + 5\), где \(a\) - некоторое целое число.

Тогда квадрат этого числа будет:

\[n^2 = (10a + 5)^2 = (10a)^2 + 2 \cdot 10a \cdot 5 + 5^2\]

Упростим это выражение:

\[n^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100(a^2 + a) + 25\]

Мы видим, что при вычислении квадрата числа, оканчивающегося на пять, мы можем просто приписать 25 к произведению первых двух членов и получить правильный результат.

Таким образом, мы показали, что при вычислении квадрата натурального числа, оканчивающегося на пять, мы можем приписать 25 к произведению первых двух членов и получить правильный результат.