Задача 1. Какие правильные обозначения границ промежутков заменят знаки вопроса в следующих равенствах? а) (1

Задача 1:
а) Чтобы найти пересечение двух промежутков \((1; 4)\) и \((-3; 3)\), нам нужно найти общую часть этих промежутков. Промежуток \((1; 4)\) включает все числа от 1 до 4, не включая сами границы, то есть \(1 < x < 4\). Промежуток \((-3; 3)\) включает все числа от -3 до 3, не включая сами границы, то есть \(-3 < x < 3\). Пересечение этих промежутков будет состоять из чисел, которые одновременно лежат в обоих промежутках. Таким образом, правильное обозначение для пересечения промежутков \((1; 4)\) и \((-3; 3)\) будет \((1; 3)\).

б) Чтобы найти объединение промежутка \([2; 5]\) и \((0; 7)\), мы должны объединить все числа, которые принадлежат одному из этих промежутков. Промежуток \([2; 5]\) включает все числа от 2 до 5, включая сами границы, то есть \(2 \leq x \leq 5\). Промежуток \((0; 7)\) включает все числе от 0 до 7, не включая сами границы, то есть \(0 < x < 7\). Объединение этих промежутков будет состоять из всех чисел, которые лежат хотя бы в одном из этих промежутков. Таким образом, правильное обозначение для объединения промежутков \([2; 5]\) и \((0; 7)\) будет \([0; 7]\).

в) Чтобы найти объединение промежутков \((−3; 4]\) и \((−∞; 1]\), мы должны объединить все числа, которые принадлежат одному из этих промежутков. Промежуток \((−3; 4]\) включает все числа от -3 до 4, включая верхнюю границу, то есть \(-3 < x \leq 4\). Промежуток \((−∞; 1]\) включает все числа меньше или равные 1, то есть \(x \leq 1\). Объединение этих промежутков будет состоять из всех чисел, которые лежат хотя бы в одном из этих промежутков. Таким образом, правильное обозначение для объединения промежутков \((−3; 4]\) и \((−∞; 1]\) будет \((−∞; 4]\).

Задача 2:
а) Пересечение промежутков \((−4; +∞)\) и \((−∞; 0)\) будет состоять из всех чисел, которые одновременно лежат и в \((−4; +∞)\), и в \((−∞; 0)\). Очевидно, что все числа меньше нуля и больше -4 удовлетворяют этому условию. Таким образом, правильное обозначение для пересечения данных промежутков будет \((−∞; 0)\).

б) Пересечение промежутков \((−∞; 5)\) и \((5; +∞)\) не содержит общих чисел, так как они не пересекаются. Поэтому пересечение данных промежутков будет нулевым множеством, или пустым множеством, что обозначается как \(\varnothing\).

в) Объединение промежутков \((−∞; 5)\) и \((−∞; −7]\) будет содержать все числа, которые принадлежат хотя бы одному из данных промежутков. В данном случае, это все числа меньше или равные 5, так как \((−∞; 5)\) включает все числа, а \((−∞; −7]\) включает все числа от \(-∞\) до -7, включая -7. Таким образом, правильное обозначение для объединения промежутков \((−∞; 5)\) и \((−∞; −7]\) будет \((−∞; 5)\).

Задача 3:
Чтобы найти объединение промежутков \((-3; 4)\), \((3; 6)\) и \((1; 7)\), мы должны объединить все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Числа, входящие в объединение, будут включать все числа от -3 до 7, исключая -3 и включая 7. Таким образом, объединение данных промежутков будет составлять промежуток \((-3; 7)\).

Задача 4:
Если известно, что \(n\) является натуральным числом, мы можем проверить каждое утверждение и посмотреть, какие из них верные.
1) \(2 > 70\) - это утверждение явно неверное.
2) \(n > 100\) - это утверждение может быть верным, но оно поставлено неправильно, так как нам нужно найти значение \(n\).
3) \(3 > 25\) - это утверждение явно неверное.
4) \(n > 10\) - это утверждение может быть верным, но оно поставлено неправильно, так как нам нужно найти значение \(n\).
5) \(n > 5\) - это утверждение может быть верным, но оно поставлено неправильно, так как нам нужно найти значение \(n\).

Итак, три правильных утверждения из пяти - \(n > 100\), \(n > 10\) и \(n > 5\). Значение \(n\) должно удовлетворять всем этим утверждениям, поэтому значение \(n\) должно быть больше 100, больше 10 и больше 5. Общее правило для натуральных чисел состоит в том, что чем больше число, тем оно больше. Таким образом, мы можем решить, что значение \(n\) должно быть больше 100.

Ответ: \(n > 100\)