Задача 1. Какая вероятность того, что оба выбранных шарика будут белыми, если в ящике лежит 6 белых и 5 красных шаров?

Задача 1. Для решения данной задачи мы можем использовать понятие условной вероятности. Вероятность того, что первый выбранный шар будет белым, равна \( P(\text{белый}) = \frac{6}{11} \). После выбора первого белого шара, в ящике останется 10 шаров, из которых 5 белых и 5 красных. Таким образом, вероятность выбора второго белого шара при условии, что первый был белым, будет равна \( P(\text{белый}|\text{белый}) = \frac{5}{10} \). Теперь мы можем использовать формулу условной вероятности, чтобы найти вероятность выбора двух белых шаров подряд:

\[ P(\text{оба белых}) = P(\text{белый}) \cdot P(\text{белый}|\text{белый}) = \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10} = \frac{3}{11} \]

Таким образом, вероятность того, что оба выбранных шарика будут белыми, равна \( \frac{3}{11} \).

Задача 2. Для решения данной задачи нам нужно учесть два условия: первый пришедший ждет второго в течение 20 минут, и они договорились встретиться между 12 и 13 часами.

Общее количество времени в интервале между 12 и 13 часами составляет 60 минут. Второй друг может прийти в любое время в течение этого интервала с равной вероятностью. Однако первый друг ждет второго только 20 минут, после чего он уходит, если второй друг не пришел. Таким образом, вероятность того, что они встретятся, равна отношению времени, в течение которого второй друг может прийти (40 минут), к общему времени ожидания (60 минут):

\[ P(\text{встретятся}) = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \]

Таким образом, вероятность того, что друзья встретятся, равна \( \frac{2}{3} \).

Задача 3. По условию задачи вероятность попадания стрелка при каждом выстреле равна \( p \). Так как вероятность успеха в каждом испытании одинаковая и каждое испытание независимо от предыдущих, мы можем использовать понятие независимых событий.

Вероятность попадания при одном выстреле равна \( p \), а вероятность промаха будет равна \( 1 - p \). Событие "стрелок попадает в мишень все 4 раза подряд" можно представить как последовательность независимых событий, где каждое событие - это попадание или промах.

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 4 раза подряд, может быть найдена умножением вероятностей каждого попадания:

\[ P(\text{попадание 4 раза}) = p \cdot p \cdot p \cdot p = p^4 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 4 раза подряд, равна \( p^4 \).