За яких значень а функція f(x)=(a-2)x2+2ax+a+4 має пару коренів?

Для определения значений \(a\), при которых функция \(f(x) = (a-2)x^2 + 2ax + a + 4\) имеет пару корней, мы можем использовать дискриминант, который определяется как значение выражения под знаком радикала в квадратном уравнении.

В данном случае, у нас есть функция квадратного полинома, представленная в виде \(f(x) = (a-2)x^2 + 2ax + a + 4\). Для нахождения корней необходимо решить уравнение \(f(x) = 0\).

Известно, что уравнение квадратного полинома имеет два корня, если его дискриминант больше нуля. Поэтому мы должны найти значения \(a\), при которых дискриминант больше нуля.

Для того чтобы найти дискриминант, мы используем формулу \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного полинома.

В нашем случае, \(a = (a-2)\), \(b = 2a\), и \(c = (a+4)\). Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем:

\[D = (2a)^2 - 4(a-2)(a+4)\]

Теперь, чтобы найти значения \(a\), при которых дискриминант больше нуля, нам нужно решить неравенство \(D > 0\).

\[ (2a)^2 - 4(a-2)(a+4) > 0 \]

Раскрывая скобки и упрощая неравенство, получаем:

\[ 4a^2 - 4(a^2 - 2a - 4a - 8) > 0 \]

\[ 4a^2 - 4(a^2 - 6a - 8) > 0 \]

\[ 4a^2 - 4a^2 + 24a + 32 > 0 \]

\[ 24a + 32 > 0 \]

Теперь решим это неравенство:

\[ 24a > -32 \]

\[ a > -\frac{32}{24} \]

\[ a > -\frac{4}{3} \]

Таким образом, функция \(f(x) = (a-2)x^2 + 2ax + a + 4\) имеет пару корней при значениях \(a\), больших, чем \(-\frac{4}{3}\). В противном случае, когда \(a \leq -\frac{4}{3}\), функция будет иметь один или ни одного корня.