За скільки годин може кожна бригада, працюючи окремо, виконати всі завдання, якщо дві бригади, що здійснюють роботи

Давайте решим эту задачу поэтапно.

Пусть одна бригада выполнит задание за \(x\) часов. Тогда другая бригада выполнит задание за \(x + 5\) часов, так как ей требуется на 5 часов больше.

Если две бригады, работающие вместе, выполняют задание за 6 часов, то их общая скорость работы составляет \(\frac{1}{6}\) задания в час.

Мы можем использовать идею обратной пропорции, чтобы определить скорость работы каждой бригады отдельно.

Пусть \(A\) - скорость работы первой бригады и \(B\) - скорость работы второй бригады. Тогда скорость работы первой бригады составляет \(\frac{1}{x}\) задания в час, а скорость работы второй бригады составляет \(\frac{1}{x + 5}\) задания в час.

Суммируя скорости работы обеих бригад, мы можем записать уравнение:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}
\]

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение \(x\), то есть сколько часов требуется одной бригаде для выполнения задания.

Умножим обе стороны уравнения на \(6x(x+5)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
6(x + 5) + 6x = x(x + 5)
\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[
6x + 30 + 6x = x^2 + 5x
\]

Соберем все слагаемые в одну сторону и решим получившееся квадратное уравнение:

\[
x^2 + 5x - 12x - 30 = 0
\]

\[
x^2 - 7x - 30 = 0
\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Факторизуем его или воспользуемся формулой дискриминанта.

\[
D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169
\]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных рациональных корня:

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2}
\]

Следовательно, получаем два значения \(x\):

\[
x_1 = \frac{7 + 13}{2} = 10
\]

\[
x_2 = \frac{7 - 13}{2} = -3
\]

Отрицательное значение \(x\) не имеет физического смысла в данной задаче. Таким образом, одной бригаде требуется 10 часов, чтобы выполнить задание.

Итак, каждая бригада, работая отдельно, сможет выполнить все задания за 10 часов.