За какое минимальное время тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с, достигнет половины своей

Для решения этой задачи будем использовать уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх.

Уравнение движения тела в этом случае имеет вид:
\[h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2\]

Где:
- \(h\) - высота, на которую поднимется тело;
- \(v_0\) - начальная скорость тела;
- \(t\) - время движения тела вверх;
- \(g\) - ускорение свободного падения.

Нам дано, что начальная скорость \(v_0 = 10\) м/с и ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с². Нам нужно найти время, через которое тело достигнет половины своей максимальной высоты, то есть \(h = \frac{h_{max}}{2}\).

Подставим все известные значения в уравнение движения:
\[\frac{h_{max}}{2} = 10t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2\]

Упростим это уравнение:
\[0 = -5t^2 + 10t - \frac{h_{max}}{2}\]

Так как нам нужно найти минимальное время, для которого половина максимальной высоты достигается, то это означает, что тело движется вверх и вниз, и соответственно будет два значения времени. Правильное будет та часть, где тело движется вверх, то есть \(t > 0\).

Для решения уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]

Где:
- \(a = -5\), \(b = 10\), \(c = -\frac{h_{max}}{2}\).

Вычислим дискриминант:
\[D = 10^2 - 4 \cdot (-5) \cdot \left(-\frac{h_{max}}{2}\right)\]
\[D = 100 + 20h_{max}\]

Так как \(D\) должно быть неотрицательным (\(D \geq 0\)), то получается:
\(100 + 20h_{max} \geq 0\)

Решим неравенство:
\(20h_{max} \geq -100\)
\(h_{max} \geq -5\)

Так как максимальная высота не может быть отрицательной, то мы можем учесть только положительные значения \(h_{max}\).

Таким образом, получили, что максимальная высота должна быть больше или равна 0.

Следовательно, для любой положительной максимальной высоты можно найти соответствующее время, при котором тело достигнет половину этой высоты, используя уравнение движения.

Например, если максимальная высота \(h_{max} = 10\) метров, то подставим это значение в наше уравнение:
\[\frac{10}{2} = 10t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2\]

Дальше решаем это уравнение, находим значения \(t\) и получаем ответ.

Таким образом, для любого положительного значения максимальной высоты можно найти соответствующее время, при котором тело достигнет половину этой высоты, используя уравнение движения.