Является ли функция F(x)=7sinx+10x^4 первообразной для какой функции?

Конечно! Чтобы понять, является ли функция \(F(x) = 7\sin(x) + 10x^{4}\) первообразной для какой-либо функции, нам нужно проверить, имеет ли эта функция производную, равную \(F(x)\).

Итак, для начала нам понадобятся формулы для производных. Мы знаем, что производная суммы двух функций равна сумме их производных. Нам также известно, что производная синуса равна косинусу той же функции. Но производная \(x^{4}\) требует некоторой дополнительной работы.

Правило производной степенной функции гласит, что производная функции \(x^{n}\) будет равна \(n \cdot x^{n-1}\), где \(n\) - это показатель степени. В этом случае, у нас \(n = 4\), поэтому производная функции \(x^{4}\) будет \(4 \cdot x^{4-1} = 4x^{3}\).

Теперь мы можем взять производную функции \(F(x)\) по шагам:

\[F"(x) = (7\sin(x))" + (10x^{4})"\]

По правилу производной суммы функций:

\[F"(x) = (7\sin(x))" + (10x^{4})" = 7(\sin(x))" + 10(x^{4})"\]

По правилу производной синуса:

\[F"(x) = 7(\sin(x))" + 10(x^{4})" = 7\cos(x) + 10(x^{4})"\]

Используя правило производной степенной функции, мы можем найти производную \(x^{4}\):

\[F"(x) = 7\cos(x) + 10(x^{4})" = 7\cos(x) + 10(4x^{3}) = 7\cos(x) + 40x^{3}\]

Теперь мы знаем производную \(F"(x)\) функции \(F(x)\). Если мы сравним \(F"(x)\) с \(F(x)\) и обнаружим, что они совпадают, то это будет означать, что \(F(x)\) является первообразной для \(F"(x)\).

В данном случае, \(F"(x) = 7\cos(x) + 40x^{3}\) и \(F(x) = 7\sin(x) + 10x^{4}\). Очевидно, что эти функции не совпадают. Таким образом, функция \(F(x) = 7\sin(x) + 10x^{4}\) не является первообразной для какой-либо функции.

Надеюсь, это понятно! Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.