Является ли число 192 одним из членов геометрической прогрессии, начиная с 3/8 и с шагом 1/3, заканчивая 3/2?

Давайте разберемся в данной задаче.

Мы должны проверить, является ли число 192 одним из членов геометрической прогрессии, начиная с \(\frac{3}{8}\) и с шагом \(\frac{1}{3}\), заканчивая \(\frac{3}{2}\).

Для начала, давайте найдем формулу общего члена геометрической прогрессии. Общий член геометрической прогрессии выражается следующей формулой:

\[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)},\]

где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

В нашем случае, первый член прогрессии \(a_1 = \frac{3}{8}\), знаменатель прогрессии \(r = \frac{1}{3}\). Нам нужно проверить, является ли число 192 одним из членов прогрессии, так что нам понадобится искать номер члена.

Предположим, что число 192 является членом прогрессии. Тогда мы можем записать:

\[ 192 = \frac{3}{8} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)},\]

где \(n\) - номер члена прогрессии, соответствующий числу 192.

Для упрощения выражения, переведем \(\frac{3}{8}\) в десятичную дробь: \(\frac{3}{8} = 0.375\).

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(n\):

\[ 192 = 0.375 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}.\]

Для начала, выразим \(\frac{1}{3}\) в десятичную дробь: \(\frac{1}{3} = 0.333\).

Теперь уравнение имеет вид:

\[ 192 = 0.375 \cdot 0.333^{(n-1)}.\]

Давайте упростим это уравнение, разделив обе части на 0.375:

\[ \frac{192}{0.375} = 0.333^{(n-1)}.\]

Вычислим левую часть уравнения:

\[ \frac{192}{0.375} = 512.\]

Теперь у нас есть:

\[ 512 = 0.333^{(n-1)}.\]

Чтобы найти значение \(n\), возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

\[ \log(512) = \log(0.333^{(n-1)}).\]

Используем свойство логарифма \(\log(a^b) = b \cdot \log(a)\):

\[ \log(512) = (n-1) \cdot \log(0.333).\]

Теперь мы можем выразить \(n\):

\[ n - 1 = \frac{\log(512)}{\log(0.333)}.\]

Вычислим значения логарифмов, используя калькулятор:

\[ n - 1 \approx \frac{9.040}{-1.099} \approx -8.21.\]

Мы получили отрицательное значение для \(n\). Однако, номеры членов прогрессии должны быть неотрицательными целыми числами. Таким образом, число 192 не является членом данной геометрической прогрессии.

Итак, ответ на задачу: число 192 не является одним из членов геометрической прогрессии, начиная с \(\frac{3}{8}\) и с шагом \(\frac{1}{3}\), заканчивая \(\frac{3}{2}\).