Является ли четырёхугольник с координатами вершин A (-5;3 4), B (-1;-7;5), C (6;-5;-3), D (2;5;-4) квадратом?

Чтобы определить, является ли данный четырёхугольник квадратом, мы должны проверить выполнение нескольких условий. Во-первых, все стороны квадрата должны быть равными. Во-вторых, противоположные стороны должны быть параллельными. В-третьих, все углы квадрата должны быть прямыми.

Для начала, найдем длины всех сторон четырёхугольника, используя формулу расстояния между двумя точками. Для двух точек \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) расстояние \(d\) между ними можно найти с помощью формулы:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Применяя эту формулу к нашим точкам, получаем:

Для стороны AB:
\[d_{AB} = \sqrt{((-1) - (-5))^2 + ((-7) - 3)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117}\]

Для стороны BC:
\[d_{BC} = \sqrt{(6 - (-1))^2 + ((-5) - (-7))^2 + ((-3) - 5)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117}\]

Для стороны CD:
\[d_{CD} = \sqrt{(2 - 6)^2 + (5 - (-5))^2 + ((-4) - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 10^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117}\]

Для стороны DA:
\[d_{DA} = \sqrt{((-5) - 2)^2 + (3 - 5)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117}\]

Таким образом, длины всех сторон четырёхугольника равны \(\sqrt{117}\).

Теперь, чтобы проверить, является ли этот четырёхугольник квадратом, нужно убедиться, что все стороны равны между собой, и что противоположные стороны параллельны. Мы уже установили равенство всех сторон, осталось проверить параллельность противоположных сторон.

Возьмем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\). По определению, вектор равен разнице координат двух точек. Таким образом, \(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\):

\[\vec{AB} = ((-1) - (-5), (-7) - 3, 5 - 4) = (4, -10, 1)\]

Аналогично, \(\vec{CD} = (2 - 6, 5 - (-5), (-4) - (-3)) = (-4, 10, -1)\)

Если векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) параллельны, тогда их координаты должны быть пропорциональны. Давайте проверим это:

\(\frac{4}{-4} = \frac{-10}{10} = \frac{1}{-1} = -1\)

Коэффициенты пропорциональности для всех трех координат равны -1. Следовательно, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) параллельны. Это означает, что стороны AB и CD параллельны.

Аналогично, можно проверить параллельность сторон BC и DA, найдя векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{DA}\):

\[\vec{BC} = (6 - (-1), (-5) - (-7), (-3) - 5) = (7, -2, -8)\]
\[\vec{DA} = ((-5) - 2, 3 - 5, 4 - (-4)) = (-7, -2, 8)\]

Опять же, коэффициенты пропорциональности для всех трех координат равны -1, что говорит о параллельности сторон BC и DA.

Теперь давайте проверим, что все углы квадрата прямые. Для этого вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\):

\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 7 + (-10) \cdot (-2) + 1 \cdot (-8) = 28 + 20 - 8 = 40\)

Если скалярное произведение равно 0, то векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны, и следовательно, угол между ними равен 90 градусов. В нашем случае скалярное произведение равно 40, поэтому угол между сторонами AB и BC не является прямым.

Таким образом, на основании проведенных вычислений и проверок, мы можем сделать вывод, что данный четырёхугольник не является квадратом.