Яку висоту має утворений конус, коли прямокутний трикутник з гіпотенузою 10 см і катетом 8 см обертається навколо

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу для объема конуса. Объем конуса вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Где \(V\) - объем, \(\pi\) - математическая константа (\(\pi \approx 3.14159\)), \(r\) - радиус основания конуса и \(h\) - высота конуса.

Нам дан прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 10 см, а один из катетов равен 8 см. Чтобы найти радиус основания конуса, нужно использовать связь между радиусом и катетом прямоугольного треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза.

Применяя эту теорему к нашему треугольнику, получаем:

\[8^2 + b^2 = 10^2\]

\[64 + b^2 = 100\]

Вычисляя \(b^2\), получаем:

\[b^2 = 100 - 64\]

\[b^2 = 36\]

Теперь берем квадратный корень от обоих слагаемых:

\[b = \sqrt{36}\]

\[b = 6\]

Таким образом, второй катет прямоугольного треугольника равен 6 см.

Радиус основания конуса равен половине длины меньшего катета, то есть \(r = \frac{6}{2} = 3\) см.

Теперь, чтобы найти высоту конуса, нам нужно использовать свойство сходства фигур. Поскольку мы вращаем треугольник вокруг меньшего катета, новый конус будет иметь высоту, равную меньшему катету треугольника.

Таким образом, высота утворенного конуса равна 6 см.

Теперь мы можем использовать формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Подставляем значения радиуса (\(r = 3\) см) и высоты (\(h = 6\) см):

\[V = \frac{1}{3} \pi (3^2)(6)\]

\[V = \frac{1}{3} \pi (9)(6)\]

\[V = \frac{1}{3} \pi (54)\]

\[V = 18 \pi\]

Таким образом, объем утворенного конуса равен \(18 \pi\) кубических сантиметров. Это является окончательным ответом на задачу.