Яку відстань від точки О до сторони трикутника МНК, якщо відстань від центра О кола, що вписане в трикутник МНК

Щоб знайти відстань від точки О до сторони трикутника МНК, спочатку розглянемо описане навколо цього трикутника коло і позначимо його центр як точку Ц. Враховуючи це, якщо центр кола, що вписане в трикутник МНК, розташовано на відстані d від сторони МН, то можемо зауважити, що центр описаного кола трикутника МНК знаходиться на серединному перпендикулярі до сторони МН.

Це припущення базується на властивості, що серединний перпендикуляр до сторони трикутника проходить через центр описаного кола цього трикутника.

Оскільки вартість d нам не відома, ми спочатку повинні знайти величину d.

Для цього розглянемо трикутники МОЦ і МНЦ, де О - центр кола, а Ц - центр описаного кола трикутника МНК. Оскільки вони мають спільну сторону ЦМ та спільний кут при вершині М, то за теоремою косинусів можемо записати:

\[d^2 = r^2 + OM^2 - 2 \cdot r \cdot OM \cdot \cos(\angle MOC)\]

де r - радіус вписаного кола, OM - відстань від точки О до сторони МН і \(\angle MOC\) - кут, утворений дотичною до кола і стороною МН.

Також, розглядаючи трикутники КЦО і КНЦ, де О - центр кола, а К - вершина трикутника, протилежна до сторони МН, ми також можемо скористатися теоремою косинусів:

\[d^2 = r^2 + OK^2 - 2 \cdot r \cdot OK \cdot \cos(\angle KOC)\]

де OK - відстань від точки О до сторони КН і \(\angle KOC\) - кут, утворений дотичною до кола і стороною КН.

Враховуючи, що \(\angle KOC = 180^\circ - \angle MOC\), можемо записати:

\[\cos(\angle KOC) = -\cos(\angle MOC)\]

Підставимо це значення в другу рівність:

\[d^2 = r^2 + OK^2 + 2 \cdot r \cdot OK \cdot \cos(\angle MOC)\]

Оскільки обидві рівності описують величину d^2, ми можемо прирівняти їх:

\[r^2 + OM^2 - 2 \cdot r \cdot OM \cdot \cos(\angle MOC) = r^2 + OK^2 + 2 \cdot r \cdot OK \cdot \cos(\angle MOC)\]

Скоротимо спільні доданки та перегрупуємо:

\[OM^2 + 2 \cdot r \cdot OM \cdot \cos(\angle MOC) = OK^2 + 2 \cdot r \cdot OK \cdot \cos(\angle MOC)\]

Факторизуємо, ділимо обидві частини на 2:

\[\cos(\angle MOC) \cdot (OM + OK) = OK \cdot (OK - OM)\]

Тепер ми маємо співвідношення між відстанями OM і OK. Ми можемо використовувати це співвідношення, щоб знайти відстань від точки О до сторони МН.

Але спочатку ми повинні використати іншу властивість описаного кола: серединний перпендикуляр до сторони МН проходить через центр описаного кола.

Отже, розглянемо трикутник ОМЛ, де Л - середина сторони МН. Оскільки ЛМ є серединним перпендикуляром до сторони МН, відомо, що ЛМ перпендикулярний до МН.

Тепер подивимось на трикутник ОМЛ для знаходження відстані ОЛ. Ми маємо правилу Піфагора:

\[OL^2 = OM^2 + LM^2\]

Оскільки ЛМ - серединний перпендикуляр до сторони МН і МЛ є половиною МН, то ЛМ рівне половині відстані МН:

\[LM = \frac{MN}{2}\]

Тепер можемо підставити це значення:

\[OL^2 = OM^2 + \left(\frac{MN}{2}\right)^2\]

Знаючи OL, ми можемо знайти відстань ОК за допомогою співвідношення ОК = OL - LK, де LK - відстань від середини сторони МН до точки К.

Отже, використовуючи трикутник ОКЛ, можемо записати:

\[OK^2 = OL^2 + LK^2\]

Тепер ми можемо підставити OL, OM та MN в рівняння, отримане раніше:

\[\cos(\angle MOC) \cdot (OM + OK) = OK \cdot (OK - OM)\]

Підставимо значення OL:

\[\cos(\angle MOC) \cdot (OM + OK) = OK \cdot (OK - OM + LK)\]

Розглянемо значення двох косинусів з Рівняння 5 - для рівнів \(OM + OK\) і \(OK - OM + LK\):

\[\cos(\angle MOC) = \frac{MK}{r}\]
\[\cos(\angle MOC) = \frac{CK}{r}\]

Підставимо ці значення в рівняння і повністю розкриємо дужки:

\[\frac{MK}{r} \cdot (OM + OK) = \frac{CK}{r} \cdot (OK - OM + LK)\]

Поділимо обидві частини на r та перегрупуємо:

\[\frac{MK}{CK} \cdot (OM + OK) - (OK - OM + LK) = 0\]

Розкриємо дужки і поділимо на MK:

\[\frac{OM}{MK} + \frac{OK}{CK} - 1 - \frac{LK}{MK} = 0\]

Відразу знайдемо значення фрагментів:

\[\frac{OM}{MK} + \frac{OK}{CK} - 1 - \frac{LK}{MK} = \frac{OM}{MK} - \frac{OM}{MK} + 1 - \frac{LK}{MK} = 1 - \frac{LK}{MK}\]

Тепер можемо підставити значення \(LK = \frac{MK}{2}\):

\[1 - \frac{LK}{MK} = 1 - \frac{\frac{MK}{2}}{MK} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

Таким чином, отримали, що:

\[\frac{MK}{CK} + \frac{OK}{CK} = \frac{1}{2}\]

Оскільки MK + OK = CK, можемо переписати рівняння:

\[\frac{MK + OK}{CK} = \frac{1}{2}\]

Тобто, відстань від точки О до сторони МН дорівнює половині відстані між точками М і К.