Яку величину має об єм правильної чотирикутної піраміди з діагоналлю основи 4 см, та таким, що бічний реберце утворює

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для объема правильной пирамиды, а также найти высоту пирамиды.

Объем правильной пирамиды можно вычислить по формуле:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,\]
где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

Дано, что диагональ основания пирамиды равна 4 см. Так как пирамида является четырехугольником, то диагональ основания представляет собой биссектрису одного из четырех треугольников основания. Найдем длину стороны этого треугольника:

Так как \(b\) находится под углом \(45^\circ\) к плоскости основания, то можем воспользоваться основным тригонометрическим соотношением:
\[\sin(45^\circ) = \frac{b}{d},\]
где \(b\) - длина одной из сторон основания, а \(d\) - диагональ основания. Зная, что значение \(\sin(45^\circ)\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем уравнение:
\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{4},\]
из которого найдем длину стороны основания:
\[b = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\] см.

Далее, катет треугольника является половиной длины стороны основания, так как катет и сторона основания образуют угол в \(45^\circ\). Тогда длина катета будет:
\[a = \frac{b}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\] см.

Теперь можем найти высоту пирамиды. В задаче сказано, что высота пирамиды образует угол с плоскостью основания. Это значит, что высота пирамиды является высотой бокового треугольника пирамиды. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты:
\[h = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 - 2} = \sqrt{14}\] см.

Теперь, имея все необходимые данные, подставляем значения в формулу для объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (2\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{14} = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot \sqrt{14} = \frac{8\sqrt{14}}{3}\] см³.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с диагональю основания 4 см и боковым реберцем, образующим угол с плоскостью основания, равен \(\frac{8\sqrt{14}}{3}\) кубических сантиметров.