Яку площу має трикутник АВС, якщо його ортогональна проекція – рівнобедрений прямокутний трикутник А1В1С1

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника.

Обратимся к ортогональной проекции треугольника АВС. Рассмотрим рисунок, где треугольник АВС находится в горизонтальной плоскости, а его проекция находится над ним:

$$\begin{array}{ccccccc}& A& -& -B& -& -C& \\ & |-& -|& -|\\ & A_1& -& -B_1& -& -C_1& \end{array}$$

Обозначим длины отрезков таким образом:

$AB=a,AC=b,BC=c$ - стороны треугольника АВС, \
$A_1{B}_1=a_1,A_1{C}_1=b_1,B_1{C}_1=c_1$ - стороны треугольника А1В1С1.

Из условия, мы знаем, что треугольник А1В1С1 является равнобедренным прямоугольным треугольником, а значит, у него равны основания $A_1{C}_1$ и $A_1{B}_1$:

$A_1{C}_1=A_1{B}_1=x$.

Также известна длина гипотенузы прямоугольного треугольника А1В1С1:

$A_1{B}_1=6\sqrt{2}$ см.

Пользуясь теоремой Пифагора, можем записать:

$A_1{C}_1^2+A_1{B}_1^2=B_1{C}_1^2$.

Подставим значения:

$x^2+(6\sqrt{2}{)}^2=c_1^2$.

Упростим выражение:

$x^2+72=c_1^2$ (1).

Также, учитывая, что треугольник АВС и его ортогональная проекция А1В1С1 подобны, можем записать пропорцию между сторонами:

$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{AC}{A_1{C}_1}=\frac{BC}{B_1{C}_1}$.

Подставляем значения:

$\frac{a}{x}=\frac{b}{x}=\frac{c}{c_1}$.

Так как у нас данные о сторонах в прямоугольном треугольнике АВС, пропорция может быть записана следующим образом:

$\frac{c}{x}=\frac{c_1}{a}$.

Отсюда можем получить выражение:

$c_1=\frac{c\cdot a}{x}$ (2).

Теперь сопоставим два полученных выражения для $c_1$ из (1) и (2):

$x^2+72={\frac{c\cdot a}{x}}^2$.

Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4+72x^2=c^2\cdot a^2$ (3).

Теперь рассмотрим треугольник АВС в боковой проекции и воспользуемся геометрическими свойствами этого треугольника. Мы знаем, что угол между боковой плоскостью и плоскостью треугольника АВС равен прямому углу, и следовательно, он же равен углу между плоскостью АВС и А1В1С1.

Таким образом, ответом на задачу будет прямой угол (угол в 90 градусов) между плоскостями АВС и А1В1С1.