1. Каково расстояние между точками И и С в треугольнике, если перпендикуляр АД равен 12 см, наклонная АВ равна 15

Задача 1:
Для нахождения расстояния между точками И и С в треугольнике, нам необходимо использовать теорему Пифагора и тригонометрию. Давайте рассмотрим это подробнее.

Дано:
Пусть точка А будет вершиной треугольника, точка В - основанием перпендикуляра АД, точка С - точкой на наклонной АВ и точка И - третьей вершиной треугольника.
Перпендикуляр АД равен 12 см.
Наклонная АВ равна 15 см.
Угол ААС равен 20 градусов.

Шаг 1: Найдем длину отрезка ВД.
Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВД:
\[ \begin{equation} \label{eq1}
АД^2 = АВ^2 - ВД^2
\end{equation} \]

Подставляем известные значения:
\[ \begin{align*}
12^2 &= 15^2 - ВД^2 \\
144 &= 225 - ВД^2 \\
ВД^2 &= 225 - 144 \\
ВД^2 &= 81 \\
ВД &= \sqrt{81} \\
ВД &= 9 \, \text{см}
\end{align*} \]

Шаг 2: Найдем длину отрезка ВС.
Используем тригонометрию для нахождения длины отрезка ВС.

Вспомним определение тангенса:
\[ \tan(\alpha) = \frac{{\text{противолежащий}}}{{\text{прилежащий}}} \]

В данной задаче у нас даны прилежащий и противолежащий к углу ААС.
Противолежащий стороне ВС будет отрезок ВД, а прилежащий стороне ВС будет отрезок ВА.
Тогда мы можем записать:
\[ \tan(20^\circ) = \frac{{ВД}}{{BA}} \]

Мы уже знаем длину отрезка ВД (9 см). Найдем длину отрезка ВА.
\sloppy
Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины отрезка BA:
\[ \begin{equation} \label{eq2}
BA^2 = AB^2 - BD^2
\end{equation} \]

Подставляем известные значения:
\[ \begin{align*}
BA^2 &= 15^2 - 9^2 \\
BA^2 &= 225 - 81 \\
BA^2 &= 144 \\
BA &= \sqrt{144} \\
BA &= 12 \, \text{см}
\end{align*} \]

Теперь мы можем подставить найденные значения в уравнение:
\[ \begin{align*}
\tan(20^\circ) &= \frac{9}{12} \\
\tan(20^\circ) &\approx 0.3639
\end{align*} \]

Так как \(\tan(20^\circ) = \frac{BC}{12}\), то мы можем выразить длину отрезка ВС:
\[ BC = \tan(20^\circ) \cdot 12 \]
\[ BC \approx 0.3639 \cdot 12 \]
\[ BC \approx 4.367 \, \text{см} \]

Таким образом, расстояние между точками И и С в треугольнике равно приблизительно 4.367 см.

Задача 2:
Чтобы определить, какой отрезок больше - АД или ДС, нам необходимо сравнить их длины.

Дано:
В треугольнике АВС, где АВ = 11 см, ВС = 7 см, а ВД - высота.

Мы знаем, что для прямоугольного треугольника вписанного в окружность, высота, проходящая через прямой угол, является радиусом окружности, а сторона треугольника - диаметром окружности.

Сравним длины отрезков АД и ДС.

Отрезок АД:
Длина отрезка АД - это высота, которая является радиусом окружности.

Отрезок ДС:
Длина отрезка ДС - это сторона треугольника, которая является диаметром окружности.

Мы знаем, что радиус окружности всегда меньше диаметра окружности.

Таким образом, отрезок АД меньше отрезка ДС.

Ответ: Отрезок ДС больше отрезка АД.

Задача 3:
Чтобы определить, какая из двух наклонных имеет большую проекцию на данную прямую, мы должны сравнить их проекции на прямую.

Дано:
Две наклонные - А = 14 см и В = 13 см.

Проекция наклонной на прямую - это отрезок, проведенный из вершины прямоугольно к этой прямой.

Шаг 1: Найдем проекции наклонных А и В на данную прямую.

Проекция наклонной А:
Пусть проекция наклонной А будет отрезком АП.

Проекция наклонной В:
Пусть проекция наклонной В будет отрезком ВП.

Для нахождения проекций, мы должны использовать подобие прямоугольных треугольников. Так как обе наклонные являются гипотенузами прямоугольных треугольников, то мы можем использовать их для нахождения проекций.

Проекции наклонных на прямую можно найти с помощью следующей формулы:
\[ \text{проекция} = \frac{{\text{наклонная}}}{{\text{гипотенуза}}} \cdot \text{длина гипотенузы} \]

Проекция наклонной А:
\[ АП = \frac{14}{\sqrt{14^2 + 12^2}} \cdot 12 \]
\[ АП \approx 9.618 \, \text{см} \]

Проекция наклонной В:
\[ ВП = \frac{13}{\sqrt{13^2 + 12^2}} \cdot 12 \]
\[ ВП \approx 9.891 \, \text{см} \]

Шаг 2: Сравним проекции наклонных А и В.

Мы видим, что проекция наклонной В больше, чем проекция наклонной А.

Ответ: Наклонная В с длиной 13 см имеет большую проекцию на данную прямую, чем наклонная А с длиной 14 см.