Какой будет радиус основания прямого кругового цилиндра, если радиусы оснований усечённого конуса равны 4 и 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу объема усеченного конуса и формулу объема цилиндра.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\]

где \(V\) - объем, \(\pi\) - математическая константа (примерно равна 3.14159), \(h\) - высота усеченного конуса, \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы оснований усеченного конуса.

Мы знаем, что высота цилиндра равна высоте усеченного конуса. Поэтому \(h_{\text{цил}}} = h_{\text{конус}}\).

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\[V = \pi r^2 h_{\text{цил}}\]

Так как нам нужно найти радиус основания прямого кругового цилиндра, мы можем приравнять эти два объема:

\[\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2) = \pi r^2 h_{\text{цил}}\]

Заметим, что \(\pi\) и \(h\) взаимно сокращаются, и оставшиеся части формулы будут равны:

\[\frac{1}{3}(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2) = r^2\]

Теперь мы можем решить эту формулу, чтобы найти значение радиуса основания прямого кругового цилиндра.

\[r^2 = \frac{1}{3}(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\]

Следовательно,

\[r = \sqrt{\frac{1}{3}(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)}\]

Подставляя значения \(r_1 = 4\) и \(r_2 = 2\) в данное выражение, мы можем найти радиус основания прямого кругового цилиндра:

\[r = \sqrt{\frac{1}{3}(4^2 + 2^2 + 4 \cdot 2)}\]

\[r = \sqrt{\frac{1}{3}(16 + 4 + 8)}\]

\[r = \sqrt{\frac{1}{3}(28)}\]

\[r \approx \sqrt{9.33}\]

Ответ: радиус основания прямого кругового цилиндра составляет примерно 3.05 см.