Яку площу має круг, вписаний в дану фігуру, якщо площа правильного трикутника, описаного навколо цього круга, дорівнює

Щоб знайти площу круга, вписаного в дану фігуру, нам спочатку потрібно знайти радіус цього круга. Задано, що площа правильного трикутника, описаного навколо цього круга, дорівнює 54√3 см^2.

Почнемо з площі правильного трикутника. Формула для обчислення площі правильного трикутника зі стороною \(s\) дорівнює:

\[S = \frac{√3}{4} \cdot s^2\]

Задача вказує, що площа правильного трикутника дорівнює 54√3 см^2. Підставимо це значення в формулу та знайдемо довжину сторони \(s\):

\[54√3 = \frac{√3}{4} \cdot s^2\]

Спрощуємо вираз:

\[\frac{√3}{4} \cdot s^2 = 54√3\]

Множимо обидві сторони рівняння на \(4\) та ділимо на \(√3\), щоб позбутися від знаменника:

\[s^2 = 54 \cdot 4\]

\[s^2 = 216\]

Знаходження квадратного кореня обидвіх сторін рівняння:

\[s = √216\]

Тепер, коли ми знаємо довжину сторони \(s\), ми можемо обчислити радіус круга, оскільки цей круг є вписаним в правильний трикутник. Радіус вписаного круга дорівнює половині довжини сторони трикутника:

\[r = \frac{s}{2}\]

\[r = \frac{√216}{2}\]

Далі, ми можемо знайти площу вписаного круга, використовуючи формулу:

\[S_{\text{круга}} = π \cdot r^2\]

\[S_{\text{круга}} = π \cdot \left(\frac{√216}{2}\right)^2\]

\[S_{\text{круга}} = π \cdot \frac{216}{4}\]

\[S_{\text{круга}} = \frac{54π}{2}\]

\[S_{\text{круга}} = 27π\]

Отже, площа круга, вписаного в дану фігуру, дорівнює 27π квадратних одиниць.

Тепер, щоб знайти периметр квадрата, вписаного в цей самий круг, ми можемо використати відомість, що діагональ квадрата дорівнює діаметру круга. Так як діаметр цього круга вже відомий, можемо обчислити діагональ квадрата:

\[d_{\text{квадрата}} = 2r\]

\[d_{\text{квадрата}} = 2 \cdot \frac{√216}{2}\]

\[d_{\text{квадрата}} = √216\]

А для знаходження периметра квадрата, потрібно помножити діагональ на √2:

\[P_{\text{квадрата}} = d_{\text{квадрата}} \cdot √2\]

\[P_{\text{квадрата}} = √216 \cdot √2\]

\[P_{\text{квадрата}} = √(216 \cdot 2)\]

\[P_{\text{квадрата}} = √432\]

Отже, периметр квадрата, вписаного в цей самий круг, дорівнює √432 одиниць.

Ми можемо спростити цей вираз, використовуючи властивості коренів:

\[P_{\text{квадрата}} = √(144 \cdot 3)\]

\[P_{\text{квадрата}} = √144 \cdot √3\]

\[P_{\text{квадрата}} = 12√3\]

Отже, периметр квадрата, вписаного в цей самий круг, дорівнює \(12√3\) одиниць. Це і є наш відповідь.