Яку найменшу початкову швидкість потрібно надати невеликому тілу в нижній точці, щоб воно, ковзаючи по піднятій дошці

Для решения данной задачи воспользуемся принципом сохранения механической энергии.

Первоначально тело находится в нижней точке равновесия, поэтому его потенциальная энергия равна нулю. Верхняя точка траектории также является точкой равновесия, поэтому потенциальная энергия в этой точке также будет равна нулю.

Механическая энергия тела в любой точке траектории является суммой его потенциальной и кинетической энергий. Используя это, можем записать уравнение для механической энергии тела в нижней точке траектории:

$$E_{\text{нач}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{нач}}^2+mgh=\frac{1}{2}m{v}_{\text{нач}}^2$$

Здесь $E_{\text{нач}}$ - начальная механическая энергия, $m$ - масса тела, $v_{\text{нач}}$ - начальная скорость тела, $g$ - ускорение свободного падения (10 м/с²), $h$ - высота точки относительно начальной точки (0 м).

Учитывая, что масса тела не указана в задаче, предположим, что она равна 1 кг для упрощения расчетов.

Следующий шаг - нахождение потенциальной энергии $E_{\text{кон}}$ в верхней точке траектории. Так как потенциальная энергия равна нулю в этой точке, то механическая энергия будет равна кинетической энергии:

$$E_{\text{кон}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{кон}}^2+mgh=\frac{1}{2}m{v}_{\text{кон}}^2$$

Здесь $v_{\text{кон}}$ - скорость тела в верхней точке траектории.

Закон сохранения энергии дает нам равенство начальной и конечной механической энергии:

$$\frac{1}{2}m{v}_{\text{нач}}^2=\frac{1}{2}m{v}_{\text{кон}}^2\Rightarrow v_{\text{нач}}^2=v_{\text{кон}}^2$$

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии в виде уравнения:

$$E_{\text{нач}}-E_{\text{кон}}=W_{\text{тр}}$$

Здесь $W_{\text{тр}}$ - совершенная работа силы трения. Подставим соответствующие значения:

$$\frac{1}{2}m{v}_{\text{нач}}^2-\frac{1}{2}m{v}_{\text{кон}}^2=\mu mgL$$

Где $\mu$ - коэффициент трения (0,15), $L$ - длина траектории (2,5 м).

Так как $v_{\text{нач}}=v_{\text{кон}}$, то выражение упростится до:

$$0=\mu mgL$$

Теперь можем найти начальную скорость $v_{\text{нач}}$:

$$v_{\text{нач}}=\sqrt{\frac{\mu mgL}{m}}=\sqrt{\mu gL}$$

Подставив значения коэффициента трения $\mu =0,15$, ускорения свободного падения $g=10\text{м/с²}$ и длины траектории $L=2,5\text{м}$, получим:

$$v_{\text{нач}}=\sqrt{0,15\cdot 10\cdot 2,5}\approx 1,94\text{м/с}$$

Итак, чтобы невеликое тело ковзающее по піднятій дошці завдовжки 2,5 метра могло достичь верхней точки, необходимо надать ему начальную скорость примерно равную $1,94\text{м/с}$.