Яку найменшу початкову швидкість потрібно надати невеликому тілу в нижній точці, щоб воно, ковзаючи по піднятій дошці

Для решения данной задачи воспользуемся принципом сохранения механической энергии.

Первоначально тело находится в нижней точке равновесия, поэтому его потенциальная энергия равна нулю. Верхняя точка траектории также является точкой равновесия, поэтому потенциальная энергия в этой точке также будет равна нулю.

Механическая энергия тела в любой точке траектории является суммой его потенциальной и кинетической энергий. Используя это, можем записать уравнение для механической энергии тела в нижней точке траектории:

\[E_{\text{нач}} = \frac{1}{2}mv_{\text{нач}}^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_{\text{нач}}^2\]

Здесь \(E_{\text{нач}}\) - начальная механическая энергия, \(m\) - масса тела, \(v_{\text{нач}}\) - начальная скорость тела, \(g\) - ускорение свободного падения (10 м/с²), \(h\) - высота точки относительно начальной точки (0 м).

Учитывая, что масса тела не указана в задаче, предположим, что она равна 1 кг для упрощения расчетов.

Следующий шаг - нахождение потенциальной энергии \(E_{\text{кон}}\) в верхней точке траектории. Так как потенциальная энергия равна нулю в этой точке, то механическая энергия будет равна кинетической энергии:

\[E_{\text{кон}} = \frac{1}{2}mv_{\text{кон}}^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_{\text{кон}}^2\]

Здесь \(v_{\text{кон}}\) - скорость тела в верхней точке траектории.

Закон сохранения энергии дает нам равенство начальной и конечной механической энергии:

\[\frac{1}{2}mv_{\text{нач}}^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{кон}}^2 \Rightarrow v_{\text{нач}}^2 = v_{\text{кон}}^2\]

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии в виде уравнения:

\[E_{\text{нач}} - E_{\text{кон}} = W_{\text{тр}}\]

Здесь \(W_{\text{тр}}\) - совершенная работа силы трения. Подставим соответствующие значения:

\[\frac{1}{2}mv_{\text{нач}}^2 - \frac{1}{2}mv_{\text{кон}}^2 = \mu mgL\]

Где \(\mu\) - коэффициент трения (0,15), \(L\) - длина траектории (2,5 м).

Так как \(v_{\text{нач}} = v_{\text{кон}}\), то выражение упростится до:

\[0 = \mu mgL\]

Теперь можем найти начальную скорость \(v_{\text{нач}}\):

\[v_{\text{нач}} = \sqrt{\frac{\mu mgL}{m}} = \sqrt{\mu gL}\]

Подставив значения коэффициента трения \(\mu = 0,15\), ускорения свободного падения \(g = 10 \, \text{м/с²}\) и длины траектории \(L = 2,5 \, \text{м}\), получим:

\[v_{\text{нач}} = \sqrt{0,15 \cdot 10 \cdot 2,5} \approx 1,94 \, \text{м/с}\]

Итак, чтобы невеликое тело ковзающее по піднятій дошці завдовжки 2,5 метра могло достичь верхней точки, необходимо надать ему начальную скорость примерно равную \(1,94 \, \text{м/с}\).