Яку масу має планета, навколо якої рухається супутник з прискоренням руху -0,95 м/с² і на висоті, що дорівнює радіусу

Задача:

Мы имеем планету с определенной массой и супутник, который движется вокруг нее с заданным ускорением. Мы хотим найти период обращения этого супутника, имея информацию о массе планеты и ее радиусе.

Для начала давайте найдем гравитационную силу, действующую на супутник. Гравитационная сила вычисляется по закону всемирного тяготения:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - гравитационная сила, G - гравитационная постоянная (приближенное значение для Земли: \(G = 6,674 \cdot 10^{-11}\, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)), \(m_1\) - масса планеты, \(m_2\) - масса супутника, \(r\) - расстояние между центрами планеты и супутника.

Масса планеты (\(m_1\)) неизвестна, но мы можем использовать ее радиус, чтобы выразить ее через плотность (\(\rho\)). Формула для массы может быть записана следующим образом:

\[m_1 = V \cdot \rho\]

где \(V\) - объем планеты. Для сферы объем может быть вычислен по формуле:

\[V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\]

где \(r\) - радиус планеты.

Таким образом, мы можем выразить массу планеты через ее радиус и плотность:

\[m_1 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho\]

Теперь мы можем переписать формулу для гравитационной силы, используя найденное значение \(m_1\):

\[F = \frac{{G \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho\right) \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Ускорение движения (\(a\)) связано силой (F) и массой (m) следующим образом:

\[F = m \cdot a\]

Так как сила гравитации является ускоряющей силой для супутника, мы можем установить:

\[\frac{{G \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho\right) \cdot m_2}}{{r^2}} = m_2 \cdot a\]

Масса супутника (\(m_2\)) сократится с обеих сторон, и мы можем решить это уравнение относительно ускорения:

\[a = \frac{{G \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho\right)}}{{r^2}}\]

Теперь мы знаем ускорение супутника и хотим найти его период обращения (\(T\)). Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[a = \frac{{4 \cdot \pi^2 \cdot R}}{{T^2}}\]

где \(R\) - радиус орбиты супутника.

Мы также знаем, что расстояние от супутника до центра планеты (\(R\)) равно сумме радиуса планеты и высоты над поверхностью планеты:

\[R = r + h\]

Так как супутник находится на высоте, равной радиусу планеты, мы можем записать:

\[h = r\]

Итак, расстояние следующее:

\[R = r + r = 2r\]

Подставляя значение \(R\) в уравнение для ускорения, мы получим:

\[\frac{{4 \cdot \pi^2 \cdot (2r)}}{{T^2}} = \frac{{G \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho\right)}}{{r^2}}\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно периода обращения (\(T\)):

\[\frac{{8 \cdot \pi^2 \cdot r}}{{T^2}} = \frac{{G \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho\right)}}{{r^2}}\]

Умножим обе стороны на \(T^2\):

\[8 \cdot \pi^2 \cdot r = \frac{{G \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \cdot \rho\right) \cdot T^2}}{{r^2}}\]

Теперь домножим обе стороны на \(\frac{3 \cdot r^2}{4 \cdot \pi \cdot G \cdot \rho}\):

\[\frac{{8 \cdot \pi^2 \cdot r \cdot 3 \cdot r^2}}{{4 \cdot \pi \cdot G \cdot \rho}} = T^2\]

Упростим:

\[\frac{{6 \cdot \pi \cdot r^3}}{{G \cdot \rho}} = T^2\]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[T = \sqrt{\frac{{6 \cdot \pi \cdot r^3}}{{G \cdot \rho}}}\]

Теперь у нас есть формула для расчета периода обращения супутника. Мы можем подставить заданные значения радиуса планеты (\(r = 3400\)), гравитационной постоянной (\(G = 6,674 \cdot 10^{-11}\)), и плотности (\(\rho = \text{значение плотности}\)) для нахождения ответа.

Важно отметить, что для точного решения потребуется значение плотности планеты. Пожалуйста, предоставьте это значение для получения конкретного ответа.