Под каким углом к берегу следует направить моторную лодку, чтобы она могла переправиться через реку по кратчайшему

Чтобы найти угол направления лодки к берегу, за который она сможет переправиться через реку по кратчайшему пути, мы воспользуемся законом сложения скоростей. Согласно этому закону, скорость лодки относительно земли будет равна векторной сумме её собственной скорости и скорости течения реки.

Обозначим через \(v_b\) скорость лодки относительно берега, \(v_l\) - скорость лодки относительно воды, \(\theta\) - угол между направлением движения лодки и направлением течения реки, а \(v_r\) будет обозначать скорость течения реки.

Используя геометрию треугольника, можно установить следующее: \(v_l = v_b \cdot \cos(\theta)\) и \(v_r = v_b \cdot \sin(\theta)\).

Теперь создадим уравнение на основе закона сложения скоростей: \(v_l + v_r = 8 \, \text{м/с}\).

Подставив в это уравнение значения \(v_l\) и \(v_r\) получим: \(v_b \cdot \cos(\theta) + v_b \cdot \sin(\theta) = 8 \, \text{м/c}\).

Факторизуем уравнение: \(v_b \cdot (\cos(\theta) + \sin(\theta)) = 8 \, \text{м/с}\).

Теперь разделим обе части уравнения на \(\cos(\theta) + \sin(\theta)\): \(v_b = \frac{8 \, \text{м/с}}{\cos(\theta) + \sin(\theta)}\).

Таким образом, чтобы найти угол \(\theta\), достаточно решить уравнение выше и найти его значение.

Но перед тем, как решить уравнение, мы заметим, что \(\cos(\theta) + \sin(\theta)\) достигает своего максимального значения при угле \(\theta = 45^\circ\). Поэтому наша лодка должна направляться под углом \(45^\circ\) к берегу, чтобы переправиться через реку по кратчайшему пути.

Мы можем подтвердить это, подставив \(\theta = 45^\circ\) в наше уравнение: \(v_b = \frac{8 \, \text{м/с}}{\cos(45^\circ) + \sin(45^\circ)} = \frac{8 \, \text{м/с}}{\sqrt{2}} = 8 \, \text{м/с} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \, \text{м/с} \approx 5.66 \, \text{м/с}\).

Таким образом, лодке необходимо направиться под углом \(45^\circ\) к берегу, чтобы переправиться через реку по кратчайшему пути.