Яку кількість спортсменок можна вибрати зі стрибків у воду, де тренуються 7 спортсменок, для участі у змаганнях?

Чтобы решить задачу о выборе спортсменок для участия в соревнованиях по прыжкам в воду, мы можем использовать понятие сочетания без повторений. В данном случае у нас есть 7 спортсменок и мы хотим выбрать из них определенное количество для участия в соревнованиях.

Формула для сочетания без повторений:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
где n - общее количество объектов для выбора (в нашем случае 7 спортсменок), а k - количество объектов, которые мы хотим выбрать (необходимо для участия в соревнованиях).

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Шаг 1: Определяем значения переменных
n = 7 (общее количество спортсменок)
k = ? (количество спортсменок для участия в соревнованиях)

Шаг 2: Записываем формулу для сочетания без повторений и подставляем известные значения:
\[C_7^k = \frac{{7!}}{{k!(7-k)!}}\]

Шаг 3: Упрощаем формулу:
\[C_7^k = \frac{{7!}}{{k!(7-k)!}} = \frac{{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}{{k!(7-k)!(6-k)!}}\]

Шаг 4: Сокращаем факториалы:
\[C_7^k = \frac{{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}{{k!(7-k)!(6-k)!}} = \frac{{7!}}{{k!(7-k)!}} = \frac{{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}{{k!(7-k)!}}\]

Шаг 5: Выполняем умножение:
\[C_7^k = \frac{{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}{{k!(7-k)!}} = \frac{{5040}}{{k!(7-k)!}}\]

Таким образом, если вы хотите узнать, сколько спортсменок можно выбрать из 7 для участия в соревнованиях, воспользуйтесь формулой \(\frac{{5040}}{{k!(7-k)!}}\), заменяя k на желаемое количество спортсменок. Например, если вы хотите выбрать 3 спортсменки из 7, подставьте k = 3:
\[C_7^3 = \frac{{5040}}{{3!(7-3)!}} = \frac{{5040}}{{6\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}} = 35\]

Таким образом, можно выбрать 35 спортсменок из 7 для участия в соревнованиях по прыжкам в воду.