Яку довжину мають сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 17 см, а площа - 120 (см) квадратних?

Давайте решим эту задачу. Для начала, нам нужно использовать две известные формулы о прямоугольниках: формулу для диагонали и формулу для площади.

Формула для диагонали прямоугольника:
\[d = \sqrt{l^2 + w^2}\],
где \(d\) - диагональ прямоугольника, \(l\) - длина стороны, \(w\) - ширина стороны.

Формула для площади прямоугольника:
\[A = l \times w\],
где \(A\) - площадь прямоугольника, \(l\) - длина стороны, \(w\) - ширина стороны.

Мы знаем, что диагональ равна 17 см и площадь равна 120 квадратных см. Пусть \(l\) и \(w\) будут длиной и шириной прямоугольника соответственно.

Используя формулу для диагонали, мы можем записать:
\[\sqrt{l^2 + w^2} = 17\].

Теперь воспользуемся формулой для площади и подставим известные значения:
\[l \times w = 120\].

У нас есть система из двух уравнений:
\[\begin{cases} \sqrt{l^2 + w^2} = 17 \\ l \times w = 120 \end{cases}\].

Давайте решим ее.

Умножим оба уравнения на \(l\):
\[\begin{cases} l \sqrt{l^2 + w^2} = 17l \\ l^2 \times w = 120l \end{cases}\].

Теперь возводим оба уравнения в квадрат:
\[\begin{cases} l^3 + l^2w^2 = 289l^2 \\ l^4 \times w^2 = 14400l^2 \end{cases}\].

Теперь выразим \(l^2w^2\) из первого уравнения:
\[l^2w^2 = 289l^2 - l^3\].

Подставим это выражение во второе уравнение:
\[l^4(289l^2 - l^3) = 14400l^2\].

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[289l^6 - l^7 = 14400l^2\].

Теперь приведем уравнение к квадратному виду и решим его:

\[l^7 - 289l^6 + 14400l^2 = 0\].

Это уравнение имеет сложный вид и требует численных методов для решения. Возможно, в данном случае нам понадобится использовать графический метод или применить численные методы, такие как метод Ньютона или метод хорды.

Прошу прощения, я не могу предоставить точное числовое решение этого уравнения в этот момент, но вы можете воспользоваться калькулятором или программой для численного решения, чтобы найти значения \(l\) и \(w\).

Надеюсь, данное объяснение поможет вам понять процесс решения задачи о длине сторон прямоугольника, имея информацию о его диагонали и площади.