Якщо площа повної поверхні правильної п-кутної піраміди в 3 рази більша за площу її основи, то двогранний

Дано, що площа повної поверхні правильної п-кутної піраміди у 3 рази більша за площу її основи. Нехай \(S_{\text{повн}}\) - площа повної поверхні, а \(S_{\text{осн}}\) - площа основи піраміди.

За умовою задачі маємо: \(S_{\text{повн}} = 3 \cdot S_{\text{осн}}\).

Так як піраміда є правильною, то вона має п-кутну орієнтацію, і двогранний кут при основі піраміди дорівнює \(360^\circ / p\), де \(p\) - кількість сторін основи піраміди.

Щоб знайти значення кута, можемо скористатися формулою для площі повної поверхні правильної піраміди: \[ S_{\text{повн}} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot a \cdot l, \]

де \(a\) - довжина сторони основи, а \(l\) - апофема піраміди.

Також відому формулу для площі основи піраміди: \[ S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot a \cdot r, \]

де \(r\) - радіус вписаного кола в основу піраміди.

Розкладемо площу повної поверхні за формулою та отримаємо: \[ 3 \cdot S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot a \cdot l. \]

Оскільки \(S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot a \cdot r\), можемо підставити це значення у вище отримане рівняння та отримаємо: \[ 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot a \cdot r = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot a \cdot l. \]

Спростимо та скоротимо вирази та отримаємо: \[ 3r = l. \]

Таким чином, \(l = 3r\).

Отже, двограний кут при основі піраміди дорівнює \(360^\circ / p = 360^\circ / 5\), оскільки п-кутна піраміда має 5 сторін основи. і у відповідь вибираємо варіант а) \(\textbf{арксин}\).