Якщо довжина АС становить 8 см, то яка є гіпотенуза прямокутного трикутника АВС, якщо sin A = 0,6?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использование тригонометрических соотношений. Первым делом, давайте воспользуемся определением синуса:

\(\sin A = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)

Из задачи нам дано \(\sin A = 0,6\). Подставим это значение в уравнение и найдем противоположный катет:

\(\frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \sin A\)

\(\frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = 0,6\)

Теперь, нам нужно найти противоположный катет. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

\(c^2 = a^2 + b^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.

В нашем случае, известна длина катета AC, которая составляет 8 см. Обозначим гипотенузу как c и второй катет как b. Теперь запишем это в уравнение:

\(c^2 = 8^2 + b^2\)

\(c^2 = 64 + b^2\)

С учетом того, что \(\frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = 0,6\), мы знаем, что

\(\frac{{b}}{{c}} = 0,6\)

Если мы возведем это в квадрат, то получим:

\(\left(\frac{{b}}{{c}}\right)^2 = 0,6^2\)

\(\frac{{b^2}}{{c^2}} = 0,36\)

Мы уже знаем, что \(c^2 = 64 + b^2\), поэтому можем подставить это в уравнение:

\(\frac{{b^2}}{{64 + b^2}} = 0,36\)

Раскроем дробь:

\(b^2 = 0,36(64 + b^2)\)

\(b^2 = 0,36 \cdot 64 + 0,36 \cdot b^2\)

\(b^2 - 0,36 \cdot b^2 = 0,36 \cdot 64\)

\(0,64 \cdot b^2 = 0,36 \cdot 64\)

\(b^2 = \frac{{0,36 \cdot 64}}{{0,64}}\)

\(b^2 = \frac{{0,36 \cdot 64}}{{\frac{{64}}{{2}}}}\)

\(b^2 = 0,36 \cdot 2\)

\(b^2 = 0,72\)

Теперь, возьмем квадратный корень от обоих сторон уравнения, чтобы найти значение катета b:

\(b = \sqrt{0,72}\)

\(b \approx 0,85\)

Таким образом, мы нашли значение второго катета b, которое составляет около 0,85.

Теперь, давайте вернемся к теореме Пифагора, чтобы найти значение гипотенузы c:

\(c^2 = 8^2 + b^2\)

Подставим известные значения:

\(c^2 = 64 + 0,85^2\)

\(c^2 = 64 + 0,72\)

\(c^2 = 64,72\)

Теперь возьмем квадратный корень:

\(c \approx \sqrt{64,72}\)

\(c \approx 8,05\)

Итак, гипотенуза прямоугольного треугольника АВС, при условии что длина стороны АС равняется 8 см и \(\sin A = 0,6\), составляет около 8,05 см.