Если расстояние от точки на параболе до ее директрисы составляет 5, то каково расстояние от этой точки до фокуса?

Конечно, я помогу вам с решением задачи. Для начала, давайте вспомним некоторые основные понятия о параболе. Парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса \(F\) и директрисы \(d\).

В данной задаче у нас есть точка \(P\) на параболе и известно, что расстояние от этой точки до директрисы составляет 5. Наша задача - определить расстояние от точки \(P\) до фокуса \(F\).

Для решения задачи воспользуемся свойством параболы: расстояние от фокуса до точки на параболе равно расстоянию от этой точки до директрисы. Используем обозначения: \(PF = PD = x\) (где \(D\) - точка на директрисе, ближайшая к точке \(P\)) и \(PQ = 5\) (где \(Q\) - перпендикуляр, опущенный из точки \(P\) на директрису \(d\)).

Итак, у нас сейчас есть прямоугольный треугольник \(DPQ\) с гипотенузой \(PQ = 5\) и катетом \(DQ = x\). Нам нужно найти значение \(x\) (расстояние от точки \(P\) до фокуса \(F\)).

Применим теорему Пифагора для треугольника \(DPQ\):
\[
PQ^2 = DQ^2 + DP^2
\]

Подставим известные значения:
\[5^2 = x^2 + 5^2\]

Упростим уравнение:
\[25 = x^2 + 25\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение:
\[x^2 + 25 = 25\]

Вычтем 25 из обеих частей уравнения:
\[x^2 = 0\]

Из этого уравнения видно, что значение \(x\) должно быть равно 0.

Почему значение \(x\) равно 0? Потому что в данной задаче точка \(P\) уже находится на директрисе. Из определения директрисы следует, что все точки на директрисе расположены на бесконечном удалении от фокуса \(F\). Поэтому расстояние от точки, находящейся на директрисе, до фокуса равно 0.

Таким образом, расстояние от точки \(P\) до фокуса \(F\) равно 0.