Якщо більша основа трапеції вдвічі більша за меншу основу і через точку перетину діагоналей проведено паралельну

Давайте приступим к решению задачи.

Пусть меньшая основа трапеции равна \( x \) см. Тогда большая основа будет равна \( 2x \) см.

По условию, через точку пересечения диагоналей проведена параллельная основе прямая. Это означает, что основы трапеции и диагонали являются пропорциональными.

Обозначим высоту меньшей трапеции как \( h_1 \) см и высоту большей трапеции как \( h_2 \) см.

По свойству подобных треугольников, получаем следующую пропорцию:

\[
\frac{{h_1}}{{h_2}}=\frac{{x}}{{2x}}
\]

Теперь мы знаем, что высота данной трапеции равна 21 см. Мы можем использовать эту информацию, чтобы решить уравнение и найти значения высот обоих трапеций.

\[
\frac{{h_1}}{{h_2}}=\frac{{x}}{{2x}} \implies \frac{{21}}{{h_2}}=\frac{{x}}{{2x}}
\]

Для решения этого уравнения, мы можем сократить обе стороны на \( x \):

\[
\frac{{21}}{{h_2}}=\frac{{1}}{{2}}
\]

Перемножим обе стороны на \( h_2 \) и получим:

\[
21=\frac{{h_2}}{{2}}
\]

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[
2 \cdot 21 = h_2 \implies h_2 = 42 \text{{ см}}
\]

Таким образом, высота большей трапеции равна 42 см.

Чтобы найти высоту меньшей трапеции, мы можем использовать пропорцию:

\[
\frac{{h_1}}{{h_2}}=\frac{{x}}{{2x}} \implies \frac{{h_1}}{{42}}=\frac{{x}}{{2x}}
\]

Теперь мы можем сократить обе стороны на \( x \) и умножить обе стороны на 42:

\[
h_1 = \frac{{42}}{{2}} \implies h_1 = 21 \text{{ см}}
\]

Таким образом, высота меньшей трапеции также равна 21 см.

Итак, в итоге мы получаем, что высота меньшей трапеции составляет 21 см, а высота большей трапеции также равна 42 см.