Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника ділиться точкою дотику вписаного кола в співвідношені 8:9 від вершини кута

Для розв"язання цієї задачі, спочатку виведемо формули, які дозволять нам знайти відношення між бічною стороною і радіусом вписаного кола рівнобедреного трикутника.

Нехай \(r\) - радіус вписаного кола, \(a\) - бічна сторона рівнобедреного трикутника та \(h\) - висота, опущена на основу трикутника з точки дотику до бічної сторони.

Враховуючи, що вписане коло торкається до сторін трикутника, ми можемо сформулювати такі співвідношення:

\[ a = 2h \]

тобто бічна сторона дорівнює подвоєній висоті. Також відомо, що висота трикутника ділить бічну сторону в співвідношенні 8:9, тому:

\[ h = \frac{8}{8+9} \cdot a = \frac{8}{17} \cdot a \]

Згідно з піфагоровою теоремою, вираженою для висоти і радіуса вписаного кола, маємо:

\[ r^2 = a^2 - h^2 \Rightarrow r = \sqrt{a^2-\left(\frac{8}{17}\cdot a\right)^2} \]

За умовою задачі, радіус вписаного кола дорівнює 16 см. Підставляючи дані в формулу, можемо обчислити значення бічної сторони \(a\):

\[ 16 = \sqrt{a^2 - \left(\frac{8}{17}\cdot a\right)^2} \Rightarrow 256 = a^2 - \left(\frac{64}{17}\cdot a\right)^2 \Rightarrow 256 = a^2 - \frac{4096}{289}\cdot a^2 \]

Очистимо отримане рівняння від дробів:

\[ 256 = \frac{289a^2 - 4096a^2}{289} \Rightarrow 256 \cdot 289 = -3807a^2 \Rightarrow a^2 = -\frac{256 \cdot 289}{3807} \]

Тут ми отримали від"ємне значення. Так як бічна сторона трикутника повинна бути додатним числом, це суперечить умові задачі. Тому ця задача не має розв"язку.

Отже, ми не можемо знайти периметр цього трикутника, оскільки умова задачі протирічить властивостям рівнобедреного трикутника.