Якої тривалості потрібно вважати зараженою територію з радіоактивним ураном-232 з періодом піврозпаду 70 років і рівнем

Для розрахунку тривалості, під час якої територію слід вважати зараженою, ми можемо скористатись формулою, що враховує період піврозпаду речовини. В нашому випадку, речовиною є уран-232, який має період піврозпаду 70 років.

Формула для розрахунку кількості речовини від часу має вигляд:
\[N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

де:
- \(N\) - кількість законсервованої речовини після часу \(t\),
- \(N_0\) - початкова кількість речовини,
- \(\lambda\) - константа розпаду,
- \(t\) - час.

За умовою задачі, рівень альфа випромінювання перевищує норму в 16 разів. Це означає, що кількість законсервованої речовини повинна складати лише \(1/16\) від початкової кількості речовини. Отже, \(N = \frac{1}{16} \cdot N_0\).

Знаючи, що період піврозпаду урану-232 дорівнює 70 рокам, ми можемо визначити константу розпаду (\(\lambda\)) за формулою:
\(\lambda = \frac{\ln 2}{\text{період піврозпаду}} = \frac{\ln 2}{70}\).

Підставивши відомі значення в формулу, отримаємо:
\(\frac{1}{16} \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{70} \cdot t}\).

Для того, щоб знайти час (\(t\)), треба спростити це рівняння. Розкривши \(e\) в степеневій формі, ми отримаємо:
\(\frac{1}{16} = e^{-\frac{\ln 2}{70} \cdot t}\).

Щоб позбутися від ділення на коефіцієнт, можна обидві частини піднести до експоненти з основою \(e\):
\(e^{\ln\frac{1}{16}} = e^{-\frac{\ln 2}{70} \cdot t}\).

І застосувавши властивості логарифмів, ми отримаємо:
\(\frac{1}{16} = \frac{1}{e^{\frac{\ln 2}{70} \cdot t}}\).

Після спрощення цього рівняння, отримаємо:
\(\frac{1}{16} = e^{\frac{-\ln 2}{70} \cdot t}\).

Далі, доступною математичною операцією можна зробити обидві частини цього рівняння оберненими:
\(16 = e^{\frac{\ln 2}{70} \cdot t}\).

Щоб знайти \(t\), необхідно взяти логарифм від обох частин рівняння:
\(\ln 16 = \frac{\ln 2}{70} \cdot t\).

Тепер, для знаходження \(t\), ми поділимо обидві частини на \(\frac{\ln 2}{70}\):
\(t = \frac{\ln 16}{\frac{\ln 2}{70}}\).

Виконавши цей розрахунок, ми отримаємо:
\[t \approx 154.97.\]

Отже, тривалість, протягом якої територію слід вважати зараженою з радіоактивним ураном-232 з періодом піврозпаду 70 років і рівнем альфа випромінювання, який перевищує норму в 16 разів, дорівнює приблизно 155 рокам.