Який знаменник геометричної прогресії, створеної трьома числами, що мають добуток 64 і суму кубів 584, якщо знаменник

Добро пожаловать! Данный вопрос связан с геометрической прогрессией, в которой необходимо найти знаменник в таком порядке, чтобы он был больше единицы. Для начала, давайте разберемся, каким образом можно найти ответ на данную задачу.

Пусть знаменник геометрической прогрессии будет обозначен как \( q \), а первое число в последовательности - \( a \).

Таким образом, имеем следующую прогрессию:

\[ a, aq, aq^2 \]

Дано, что произведение чисел равно 64, поэтому:

\[ a \cdot aq \cdot aq^2 = 64 \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ a^3 \cdot q^3 = 64 \]

Также дано, что сумма кубов равна 584, поэтому:

\[ a^3 + a^3 q^3 + a^3 q^6 = 584 \]

Теперь у нас есть система двух уравнений:

\[ \begin{cases} a^3 \cdot q^3 = 64 \\ a^3 + a^3 q^3 + a^3 q^6 = 584 \end{cases} \]

Можно решить данную систему уравнений методом подстановки. Также можно заметить, что из первого уравнения можно выразить \( q \) через \( a \). Подставляя это выражение во второе уравнение, получим уравнение относительно \( a \).

Обосновывая данное предположение о методе решения, можно заметить, что произведение членов геометрической прогрессии равно 64, и такое значение получится только в случае, когда два из трех чисел равны 4, а третье число равно 2. Таким образом, можем сказать, что \( a = 2 \) и одно из чисел равно 4.

Подставляя это во второе уравнение, получим:

\[ 2^3 + 2^3 q^3 + 2^3 q^6 = 584 \]

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\[ 8 + 8q^3 + 8q^6 = 584 \]

Далее, вычитаем 8 с обеих сторон уравнения:

\[ 8q^3 + 8q^6 = 576 \]

Делим на 8:

\[ q^3 + q^6 = 72 \]

Таким образом, у нас есть кубы двух чисел, сумма которых равна 72. Мы знаем, что первое число равно 2 (из предыдущих рассуждений), поэтому можем выразить это в виде:

\[ 2^3 + x^3 = 72 \]

Решаем уравнение для \( x \):

\[ 8 + x^3 = 72 \]

Вычитаем 8 с обеих сторон:

\[ x^3 = 64 \]

Корень кубический из 64 равен 4, поэтому получаем, что \( x = 4 \).

Таким образом, в геометрической прогрессии с знаменником \( q \), первым числом 2 и произведением 64, \( q \) равен 4.