Який радіус планети, маса якої в два рази менше Землі, якщо прискорення вільного падіння на її поверхні дорівнює

Щоб вирішити цю задачу, ми можемо скористатися законом всесвітнього тяжіння, який говорить, що сила гравітації між двома тілами прямо пропорційна їхнім масам та обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Формула цього закону записується як:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{ r^2 }}\]

де \(F\) - сила гравітації, \(G\) - гравітаційна стала, \(m_1\) і \(m_2\) - маси двох тіл, \(r\) - відстань між цими тілами.

В нашому випадку, ми маємо дві планети: Землю (позначимо її масу як \(m_1\)) та другу планету (позначимо її масу як \(m_2\)). Відомо, що маса другої планети в два рази менше за масу Землі, тобто \(m_2 = \frac{1}{2} m_1\). Відомо також, що прискорення вільного падіння на поверхні обох планет однакове.

Прискорення вільного падіння на Землі позначимо як \(g_1\), аналогічно, на другій планеті - \(g_2\). Оскільки прискорення вільного падіння на обох планетах однакове, ми маємо: \(g_1 = g_2\).

Тепер, застосуємо закон всесвітнього тяжіння до кожної планети заокругом. На Землі сила гравітації дорівнює \(F_1 = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_1}}{{ r_1^2 }}\), де \(r_1\) - радіус Землі. На другій планеті сила гравітації дорівнює \(F_2 = G \cdot \frac{{\frac{1}{2} m_1 \cdot \frac{1}{2} m_1}}{{ r_2^2 }}\), де \(r_2\) - радіус другої планети.

Оскільки сили гравітації на обох планетах однакові, маємо: \(F_1 = F_2\). Складемо рівняння:

\[G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_1}}{{ r_1^2 }} = G \cdot \frac{{\frac{1}{2} m_1 \cdot \frac{1}{2} m_1}}{{ r_2^2 }}\]

Звідси випливає:

\[\frac{{m_1 \cdot m_1}}{{ r_1^2 }} = \frac{{\frac{1}{2} m_1 \cdot \frac{1}{2} m_1}}{{ r_2^2 }}\]

Скоротимо \(m_1\) і спростимо рівняння:

\[\frac{{m_1}}{{ r_1^2 }} = \frac{1}{{4 \cdot r_2^2 }}\]

Перенесемо змінні у відповідних боки рівняння:

\[r_2^2 = 4 \cdot r_1^2\]

Для знаходження радіусу другої планети, розв"яжемо це рівняння:

\[r_2 = 2 \cdot r_1\]

Отже, радіус другої планети в два рази більше за радіус Землі.