Який радіус кола, що описує трикутник ABC, якщо довжина сторони AB становить 6 сантиметрів і синус кута C дорівнює

Для решения этой задачи нам понадобится применить теорему синусов, которая связывает стороны треугольника с синусами его углов. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - соответствующие им углы (в радианах или градусах).

В нашем случае, у нас дана сторона \(AB\) и синус угла \(C\), поэтому мы можем использовать формулу \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\) для нахождения радиуса окружности, описывающей треугольник \(ABC\).

Обозначим радиус этой окружности как \(R\). Для начала, мы можем найти сторону \(AC\) с использованием теоремы Пифагора, так как у нас известны сторона \(AB\) и синус угла \(C\). Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.

В нашем случае:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Поскольку у нас дана сторона \(AB\) равной 6 сантиметрам, а \(BC\) ищем, то можем записать:

\[AC^2 = 6^2 + BC^2\]

Теперь получаем уравнение, которое можно решить относительно \(BC\):

\[AC^2 - 36 = BC^2\]

\[BC^2 = AC^2 - 36\]

Теперь, когда у нас есть квадрат стороны \(BC\), мы можем найти её длину:

\[BC = \sqrt{AC^2 - 36}\]

Затем, с использованием теоремы синусов, мы можем получить выражение для радиуса окружности, описывающей треугольник:

\[\frac{BC}{\sin(B)} = \frac{AC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(C)} = 2R\]

Подставляя значения, получаем:

\[\frac{\sqrt{AC^2 - 36}}{0.6} = \frac{AC}{1} = \frac{6}{0.6}\]

Решаем это уравнение относительно \(AC\):

\[\sqrt{AC^2 - 36} = 0.6 \cdot \frac{AC}{1}\]

\[AC^2 - 36 = 0.6 \cdot AC^2\]

\[0.4 \cdot AC^2 = 36\]

\[AC^2 = \frac{36}{0.4}\]

\[AC = \sqrt{\frac{36}{0.4}}\]

\[AC = \sqrt{90}\]

\[AC \approx 9.49\]

Теперь мы можем найти радиус окружности, используя формулу:

\[R = \frac{AC}{2}\]

\[R = \frac{9.49}{2}\]

\[R \approx 4.74\]

Таким образом, радиус окружности, описывающей треугольник ABC, составляет примерно 4,74 сантиметра.

Данный ответ был представлен с пошаговым объяснением решения, чтобы быть понятным для школьников.