Який є радіус кола, що описує правильний багатокутник, якщо він дорівнює 2√3 см? Який є радіус кола, що вписується

Щоб вирішити дану задачу, ми маємо знати деякі властивості правильних багатокутників.

1. Радіус кола, що описує правильний багатокутник, є відстанню від центра кола до будь-якої точки на його стороні.

2. Радіус кола, що вписується в правильний багатокутник, є відстанню від центра кола до будь-якої сторони багатокутника.

Тепер розглянемо першу частину задачі:

"Який є радіус кола, що описує правильний багатокутник, якщо він дорівнює 2√3 см?"

За властивостями описаними вище, радіус кола, що описує правильний багатокутник, є відстанню від центра кола до будь-якої точки на його стороні. Оскільки наш багатокутник є правильним, то можна припустити, що він є шестикутником.

Так як довжина сторони шестикутника дорівнює \(2\sqrt{3}\) см, то кожна сторона шестикутника є рівною цій довжині.

Одна сторона шестикутника є хордою кола, а радіус кола є відстанню від центра до цієї сторони. Отже, радіус кола, що описує правильний багатокутник, дорівнює половині довжини однієї з його сторін.

Тому, радіус кола, що описує правильний багатокутник, дорівнює \( \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) см.

Тепер розглянемо другу частину задачі:

"Який є радіус кола, що вписується в правильний багатокутник, якщо він дорівнює 3 см?"

За властивостями описаними вище, радіус кола, що вписується в правильний багатокутник, є відстанню від центра кола до будь-якої сторони багатокутника. Оскільки наш багатокутник є правильним шестикутником, то радіус вписаного кола буде перпендикулярним до кожної сторони багатокутника і проходитиме через точки дотику вписаного кола зі сторонами багатокутника.

Тому, радіус кола, що вписується в правильний багатокутник, дорівнює довжині відрізку, проведеного від середини однієї сторони до центра кола. Оскільки наш багатокутник є правильним, то середина однієї сторони є також вершиною правильного трикутника, утвореного цією стороною і центром кола.

Ми можемо сконструювати прямокутний трикутник, використовуючи половину сторони правильного багатокутника (в нашому випадку, \( \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \) см) і значення радіуса кола, який ми шукаємо.

Застосуємо теорему Піфагора: \( (\frac{3}{2})^2 + r^2 = 3^2 \), де \( r \) - радіус вписаного кола.

Вирішимо це рівняння:

\[ r^2 = 3^2 - (\frac{3}{2})^2 \]
\[ r^2 = 9 - \frac{9}{4} \]
\[ r^2 = \frac{36}{4} - \frac{9}{4} \]
\[ r^2 = \frac{27}{4} \]

Щоб знайти радіус кола, що вписується в правильний багатокутник, потрібно взяти корінь з обох боків:

\[ r = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

Тепер розглянемо фінальну частину задачі:

"Знайдіть довжину сторони правильного багатокутника і кількість його сторін."

Довжина сторони правильного багатокутника може бути знайдена, використовуючи відношення між радіусом описаного кола і стороною багатокутника. У правильному багатокутнику, радіус описаного кола і сторона багатокутника утворюють 30-градусний кут при центрі багатокутника.

Знаючи, що радіус описаного кола дорівнює \( \sqrt{3} \) см (з першої частини задачі), ми можемо шукати довжину сторони багатокутника використовуючи тригонометричні співвідношення. Застосуємо співвідношення для косинуса 30 градусів:

\[ \cos(30°) = \frac{\text{сторона}}{\sqrt{3}} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{сторона}}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{сторона} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \]

Отже, довжина сторони правильного багатокутника дорівнює \( \frac{3}{2} \) см.

Кількість сторін правильного багатокутника визначається кількістю вершин, а також кількістю сторін багатокутника. Виведемо загальну формулу:

\[ \text{кількість сторін} = \text{кількість вершин} = \text{кількість кутів} = \text{кількість сторін} \]

Таким чином, кількість сторін правильного багатокутника дорівнює 6.

Таким чином, відповідно до даної задачі, радіус кола, що описує правильний багатокутник, дорівнює \( \sqrt{3} \) см, радіус кола, що вписується в правильний багатокутник, дорівнює \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \) см, довжина сторони правильного багатокутника дорівнює \( \frac{3}{2} \) см, а кількість його сторін - 6.