Який радіус кола, описаного навколо квадрата, побудованого на одній зі сторін правильного трикутника, вписаного в коло

Щоб зрозуміти радіус кола, описаного навколо квадрата, побудованого на одній зі сторін правильного трикутника, вписаного в коло радіусом R, спочатку подивимося на властивості цих фігур.

Малюнок:

            A

            ○

           / \

          /   \

         /     \

        /       \

       /_________\

     B      C     D

Описаний коло:
Щоб знайти радіус описаного кола, треба взяти довжину сторони квадрата і поділити на 2. Отже, якщо сторона квадрата, побудованого на одній із сторін правильного трикутника, дорівнює a, то радіус описаного кола дорівнюватиме R = a/2.

Вписаний квадрат:
Щоб знайти довжину сторони вписаного квадрата, треба помножити довжину сторони трикутника на \(\sqrt{2}\). Отже, якщо сторона трикутника дорівнює a, то сторона вписаного квадрата дорівнюватиме \(a \times \sqrt{2}\).

Тепер давайте з"ясуємо залежність між радіусом описаного кола і стороною вписаного квадрата.

У правильному трикутнику діагональ вписаного квадрата є медіаною, або висотою, або бісектрисою. Тому згідно з властивостями, сторона вписаного квадрата дорівнює половині сторони трикутника: \(a = R\).

Звідси ми отримуємо, що радіус описаного кола, R, дорівнює стороні трикутника, тобто R = a.

Для збільшення зрозуміння можемо розглянути числовий приклад. Припустимо, що радіус вписаного кола дорівнює 4. Тоді сторона вписаного квадрата буде: \(a = 4 \times \sqrt{2} \approx 5.66\). А радіус описаного кола буде: \(R = a/2 = 5.66/2 = 2.83\).

Таким чином, радіус кола, описаного навколо квадрата, побудованого на одній зі сторін правильного трикутника, вписаного в коло радіусом R, дорівнює R.

Надіюся, це розв"язання було зрозумілим.