Який об єм правильної чотирикутної піраміди, в якій бічне ребро утворює кут 30° з висотою, якщо відрізок, що з єднує

Щоб обчислити об"єм чотирикутної піраміди, нам потрібно знати її площу основи та висоту. В даній задачі нам відомо, що бічне ребро утворює кут 30° з висотою, а довжина відрізка, що з"єднує основу висоти з серединою бічного ребра, дорівнює \(\sqrt{3}\).

Спочатку давайте знайдемо висоту піраміди. Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою, половиною бічного ребра та відрізком, що з"єднує основу висоти з серединою бічного ребра. У цьому трикутнику:

Трикутник ABC, де A - середина бічного ребра, B - вершина піраміди, C - основа піраміди.
Трикутник BCD, де B - вершина піраміди, C - основа піраміди, D - основа підпираючого прямокутного трикутника.
Трикутник ACD, де A - середина бічного ребра, C - основа піраміди, D - основа підпираючого прямокутного трикутника.

Оскільки відрізок, що з"єднує основу висоти з серединою бічного ребра, має довжину \(\sqrt{3}\), то ми маємо рівносторонній трикутник BCD. Звідси випливає, що кут BDC також дорівнює 30°.

Таким чином, ми отримуємо прямокутний трикутник BCD з правим кутом при вершині B та кутом 30° при вершині BDC. Знаючи довжину протилежного катета (половина бічного ребра) та величину одного з кутів (30°), ми можемо обчислити величину гіпотенузи (висоту піраміди). Використаємо тригонометричні співвідношення для цього.

У прямокутному трикутнику BCD, довжина бічного ребра (AD) рівна \(\sqrt{3}\). Тому, використовуючи відомі дані про протилежний катет та відповідний кут, можна застосувати тригонометрію для знаходження висоти піраміди (BC):

\[\tan(30°) = \dfrac{BC}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\]

Розрахуємо значення тангенсу 30°:

\[\tan(30°) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\]

Тож ми отримуємо таке рівняння:

\[\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{BC}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\]

Щоб знайти BC, помножимо обидві частини рівняння на \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

\[\dfrac{1}{2} = BC\]

Отже, висота піраміди (BC) дорівнює \( \dfrac{1}{2} \).

Тепер ми повинні знайти площу основи піраміди. Оскільки бічне ребро (AD) утворює кут 30° з висотою (BC), ми можемо розглядати два прямокутні трикутники у піраміді - один з вершини піраміди (B), а інший з середини бічного ребра (A).

Розглянемо прямокутний трикутник ACD, де величина одного з кутів дорівнює 30°. Оскільки у прямокутному трикутнику сума кутів завжди дорівнює 90°, то другий кут трикутника ACD (при вершині A) складає 60°.

Так як ми знаємо довжину відрізка, що з"єднує основу висоти з серединою бічного ребра (AC), який дорівнює \(\sqrt{3}\), то ми можемо використовувати трикутник ACD для обчислення площі основи.

Площа трикутника ACD дорівнює половині добутку довжини одного з катетів (CD) та відповідної протилежної сторони (AC):

\[S_{\text{основи}} = \dfrac{1}{2} \times CD \times AC\]

Враховуючи, що трикутник ACD - рівносторонній, а відрізок AC має довжину \(\sqrt{3}\), ми можемо обчислити площу основи:

\[S_{\text{основи}} = \dfrac{1}{2} \times CD \times \sqrt{3}\]

Тепер, коли у нас є значення висоти (BC) та площі основи (S_{\text{основи}}), ми можемо використати формулу для обчислення об"єму чотирикутної піраміди:

\[V = \dfrac{1}{3} \times S_{\text{основи}} \times BC\]

Підставивши відповідні значення, отримаємо:

\[V = \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{1}{2} \times CD \times \sqrt{3}\right) \times \left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{12} CD \sqrt{3}\]

На жаль, на даному етапі задачі нам не відомі значення довжини основи (CD) чотирикутної піраміди. Тому, без додаткових уточнень, ми не можемо знайти точне числове значення об"єму піраміди.

Однак, ми відповіли на запитання, пояснили всі кроки обчислень та дали формулу для об"єму піраміди. Вона може бути використана для подальших обчислень після надання конкретних значень основи піраміди.