Продемонстрируйте, что все точки пересечения продолжений несмежных сторон четырехугольника находятся в одной плоскости

Четырехугольник является плоской фигурой, состоящей из четырех сторон и четырех углов. Чтобы продемонстрировать, что все точки пересечения продолжений несмежных сторон четырехугольника находятся в одной плоскости, мы можем использовать так называемую "аффинную комбинацию".

Представим, что у нас есть четырехугольник ABCD с несмежными сторонами AB и CD. Давайте продлим сторону AB и сторону CD насколько нужно, чтобы они пересеклись в точке P. Теперь у нас есть отрезок AP, отрезок BP, отрезок CP и отрезок DP.

Точка P является аффинной комбинацией точек A и B, так как ее можно представить в виде линейной комбинации этих точек с положительными коэффициентами: P = tA + (1 - t)B, где t - это число от 0 до 1.

Аналогично, точка P является аффинной комбинацией точек C и D: P = sC + (1 - s)D, где s - это число от 0 до 1.

Используя эти два равенства, мы можем выразить точку P через все четыре точки:
P = tA + (1 - t)B = sC + (1 - s)D.

Раскрывая скобки и приводя подобные элементы, мы получаем:
tA + B - tB = sC + D - sD,
tA + B - sC - D = tB - sD.

Теперь мы можем произвести факторизацию:
t(A - B) - s(C - D) = (t - s)(A - B) = B - D.

Полученное уравнение показывает, что разность между точками B и D находится в одной плоскости с вектором (A - B), следовательно, все точки пересечения продолжений несмежных сторон четырехугольника ABCD находятся в одной плоскости.