Який лінійний кут між площинами OBC у прямокутному трикутнику ABC, де сторона AC є гіпотенузою і OA є перпендикуляром

Для решения данной задачи, давайте сначала рассмотрим картину, чтобы было понятно, что происходит.

Мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где сторона AC является гипотенузой, а точка O - это точка пересечения перпендикуляра от точки A до плоскости треугольника с плоскостью OBC.

Чтобы найти угол между плоскостями OBC и ABC, нам нужно вычислить угол между нормалями к этим плоскостям.

Нормаль к плоскости OBC будет направлена вверх от точки O и перпендикулярна плоскости OBC. Нормаль к плоскости ABC будет перпендикулярна плоскости ABC и направлена вверх от точки A.

Таким образом, угол между этими нормалями будет совпадать с углом, который мы ищем.

Рассмотрим векторы, задающие нормали к плоскостям OBC и ABC: ${\mathbf{n}}_{\mathbf{OBC}}$ и ${\mathbf{n}}_{\mathbf{ABC}}$.

Так как вектор перпендикуляра в плоскости совпадает с нормалью к плоскости, мы можем использовать точку O и координаты двух точек на плоскостях OBC и ABC, чтобы найти векторы нормалей.

Вектор ${\mathbf{n}}_{\mathbf{OBC}}$ можно найти, используя точку O и две точки на плоскости OBC, например, точки B и C:

${\mathbf{n}}_{\mathbf{OBC}}=(\mathbf{B}-\mathbf{O})\times (\mathbf{C}-\mathbf{O})$,

где $\times$ обозначает векторное произведение.

Аналогично, вектор ${\mathbf{n}}_{\mathbf{ABC}}$ можно найти, используя точку A и две точки на плоскости ABC, например, точки B и C:

${\mathbf{n}}_{\mathbf{ABC}}=(\mathbf{B}-\mathbf{A})\times (\mathbf{C}-\mathbf{A})$.

Теперь, когда у нас есть векторы нормалей к плоскостям OBC и ABC, мы можем найти угол между ними.

Угол между векторами может быть найден с использованием скалярного произведения:

$\cos (\theta )=\frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{OBC}}\cdot {\mathbf{n}}_{\mathbf{ABC}}}{|{\mathbf{n}}_{\mathbf{OBC}}|\cdot |{\mathbf{n}}_{\mathbf{ABC}}|}$,

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $|\cdot |$ обозначает длину вектора.

Теперь, найдя значение косинуса угла $\theta$, чтобы получить искомый угол, мы можем использовать обратную функцию косинуса:

$\theta =\arccos \left(\frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{OBC}}\cdot {\mathbf{n}}_{\mathbf{ABC}}}{|{\mathbf{n}}_{\mathbf{OBC}}|\cdot |{\mathbf{n}}_{\mathbf{ABC}}|}\right)$.

Таким образом, используя указанные формулы, мы можем найти значение искомого угла между плоскостями OBC и ABC в заданном прямоугольном треугольнике.