Який кут A у трикутника АВС, якщо координати точок A(1;0;2), B(1;-4;3), C(-1;-1;3)?

Давайте решим эту задачу методом нахождения косинуса угла между векторами. Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Затем найдем их скалярное произведение и воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) будет равен \(\begin{bmatrix}1-1\\-4-0\\3-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\-4\\1\end{bmatrix}\).

Вектор \(\overrightarrow{AC}\) будет равен \(\begin{bmatrix}-1-1\\-1-0\\3-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2\\-1\\1\end{bmatrix}\).

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (0) \cdot (-2) + (-4) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 + 4 + 1 = 5\).

Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) равна \(\sqrt{0^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 16 + 1} = \sqrt{17}\).

Длина вектора \(\overrightarrow{AC}\) равна \(\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\).

Теперь найдем косинус угла между векторами:

\[\cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|} = \frac{5}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{6}}.\]

Округлим это значение до двух знаков после запятой: \(\cos A \approx 0.56\).

Наконец, чтобы найти угол \(A\), возьмем обратный косинус:

\[A = \arccos(0.56).\]

Округлим это значение до двух знаков после запятой: \(A \approx 55.06^\circ\).

Таким образом, угол \(A\) в треугольнике АВС примерно равен \(55.06^\circ\).