Які є невідомі сторони й кути трикутника ABC, якщо дано AB = 18см, BC =24см, та кут B = 15°?

Для того чтобы найти невідомі сторони й кути трикутника ABC, задані довжини двох сторін AB і BC, а також величина кута B.

1. Спочатку скористаємося законом синусів, щоб знайти невідому сторону AC. Закон синусів говорить, що відношення довжини сторони до синуса протилежного кута є однаковим для всіх кутів у трикутнику. Тому ми можемо записати:

\[\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AC}{\sin(B)}\]

Дізнаємось синуси кутів, підставимо дані і розв"яжемо рівняння:

\[\frac{18}{\sin(C)} = \frac{24}{\sin(15^\circ)} = \frac{AC}{\sin(15^\circ)}\]

2. Знайдемо значення синуса кута C:

\[\sin(C) = \frac{AB}{AC} \cdot \sin(B) = \frac{18}{AC} \cdot \sin(15^\circ)\]

3. Підставимо значення sin(C) до першого рівняння:

\[\frac{18}{\frac{18}{AC} \cdot \sin(15^\circ)} = \frac{24}{\sin(15^\circ)}\]

Спростимо це рівняння:

\[\frac{1}{\frac{1}{AC}} = \frac{24}{\sin(15^\circ)}\]

4. За допомогою простої алгебри ми можемо скоротити дробову частину рівняння:

\[AC = \frac{\sin(15^\circ)}{24} \cdot 1 = \frac{\sin(15^\circ)}{24}\]

Отже, довжина сторони AC дорівнює \(\frac{\sin(15^\circ)}{24}\).

5. Тепер ми можемо знайти третій кут трикутника (кут A) використовуючи відомі кути B і C:

\[A = 180^\circ - B - C\]

\[\Rightarrow A = 180^\circ - 15^\circ - C\]

\[\Rightarrow A = 165^\circ - C\]

Отже, кут A дорівнює \(165^\circ - C\).

Це є повний розбір задачі. Невідома сторона AC дорівнює \(\frac{\sin(15^\circ)}{24}\) і кут A дорівнює \(165^\circ - C\).