Каков объем усеченного конуса, если его высота составляет 3, радиус основания вдвое больше другого, и образующая

Для решения этой задачи, давайте вначале определим формулу для объема усеченного конуса.

Объем усеченного конуса можно вычислить по формуле:

\[ V = \dfrac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \]

где:
\( V \) - объем усеченного конуса,
\( h \) - высота усеченного конуса,
\( R \) - радиус большего основания,
\( r \) - радиус меньшего основания.

Мы знаем, что высота усеченного конуса равна 3, а радиус большего основания \( R \) вдвое больше радиуса меньшего основания \( r \).

Таким образом, мы можем записать \( R = 2r \).

Теперь нам нужно найти длину образующей конуса. Образующая \( l \) конуса связана с высотой \( h \) и радиусом \( R \) следующим образом:

\[ l = \sqrt {R^2 + h^2} \]

Мы знаем, что образующая наклонена к основанию под углом \( 45^\circ \). Это означает, что \( l \) является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его катеты равны \( R \) и \( h \).

Используя тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике, мы можем записать:

\[ R = h \cdot \tan(45^\circ) \]

Таким образом:

\[ l = \sqrt {(h \cdot \tan(45^\circ))^2 + h^2} \]

Теперь мы можем использовать формулу для объема усеченного конуса, подставив наши значения:

\[ V = \dfrac{1}{3} \pi h ((2r)^2 + 2r \cdot r + r^2) \]

\[ V = \dfrac{1}{3} \pi h (4r^2 + 2r^2 + r^2) \]

\[ V = \dfrac{1}{3} \pi h (7r^2) \]

Таким образом, объем усеченного конуса равен \( \dfrac{7}{3} \pi h r^2 \).

Резюмируя, объем усеченного конуса с высотой 3, радиусом основания вдвое больше другого и образующей наклоненой к основанию под углом 45 градусов, равен \( \dfrac{7}{3} \pi \cdot 3 \cdot r^2 \).

Обратите внимание, что значение радиуса \( r \) не указано в задаче. Если вам необходимо найти точное численное значение объема, вам потребуется знать значение \( r \) или какую-либо дополнительную информацию, чтобы выразить его через известные величины.