Який є довжина відрізка CD, якщо кут між площинами трикутників ABC і ABD дорівнює 45°, трикутник ABC є рівностороннім

Дано:

- Трикутник ABC является равносторонним со стороной \(4\sqrt{3}\) см.
- Трикутник ABD является равнобедренным с \(\overline{AD} = \overline{BD} = \sqrt{14}\) см.
- Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD равен 45°.

Мы хотим найти длину отрезка CD.

Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC. Поскольку он равносторонний, все стороны имеют одинаковую длину \(4\sqrt{3}\) см. Таким образом, длина отрезка AC равна \(4\sqrt{3}\) см, а длина отрезка BC также равна \(4\sqrt{3}\) см.

Теперь давайте обратимся к треугольнику ABD. У нас есть две равные стороны, \(\overline{AD}\) и \(\overline{BD}\), которые равны \(\sqrt{14}\)см. Так как треугольник равнобедренный, угол между этими двумя сторонами будет равен углу между \(\overline{AD}\) и \(\overline{BD}\). Мы знаем, что этот угол равен 45°.

Теперь, давайте рассмотрим плоскость, которая содержит треугольник ABC. Она образует угол 45° с плоскостью содержащей треугольник ABD.

Чтобы найти длину отрезка CD, мы можем рассмотреть правильный пятиугольник, вершинами которого суть вершины треугольника ABC и точка D. Плоскость, проходящая через этот пятиугольник, будет пересекать отрезок CD под прямым углом. То есть, если мы найдем длину отрезка CD с помощью геометрической конструкции, то это будет самый короткий путь между отрезками AC и BC.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику ABD.
\[\sin(\angle ADB) = \frac{{\overline{CD}}}{{\overline{BD}}} \]

Мы знаем, что угол \(\angle ADB\) равен 45°, и \(\overline{BD}\) равна \(\sqrt{14}\) см.

\[\sin(45°) = \frac{{\overline{CD}}}{{\sqrt{14}}} \]

Так как \(\sin(45°)\) равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), мы можем записать:

\[\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{{\overline{CD}}}{{\sqrt{14}}} \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим обе стороны на \(\sqrt{14}\):

\[\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = \overline{CD} \]

Упростим выражение:

\[\overline{CD} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{2}\]

Применяя свойство корня произведения, получаем:

\[\overline{CD} = \sqrt{14}\]

Таким образом, длина отрезка CD равна \(\sqrt{14}\) см.