Каков график функции, определенной как y = -x^2 - 2|x| - 3? В какой области принимает значения эта функция? Если

Хорошо! Давайте рассмотрим задачу.

У нас есть функция \(y = -x^2 - 2|x| - 3\). Давайте разберемся с каждым слагаемым по очереди.

Первое слагаемое - \(x^2\) - это парабола, которая открывается вниз. Знак минус перед ним обращает ее вниз. Второе слагаемое - \(2|x|\) - это модуль \(|x|\), который всегда будет неотрицательным. Знак минус перед ним смещает параболу вниз на 2 единицы. И третье слагаемое - 3 - смещает график вниз на 3 единицы.

Сначала рассмотрим график для положительного значения \(x\):
- Для \(x > 0\) модуль \(|x|\) просто равен самому числу \(x\), поэтому у нас остается только \(y = -x^2 - 2x - 3\). Это парабола, открытая вниз, смещенная вниз на 3 единицы.

Теперь рассмотрим график для отрицательного значения \(x\):
- Для \(x < 0\) модуль \(|x|\) равен \(-x\). Поэтому у нас остается только \(y = -x^2 + 2x - 3\). Это также парабола, открытая вниз, но смещенная вниз на 3 единицы и влево на 2 единицы.

Объединяя графики для обоих случаев, получаем следующий вид:

\[
y = \left\{
\begin{array}{ll}
-x^2 - 2x - 3 & \text{при } x > 0 \\
-x^2 + 2x - 3 & \text{при } x < 0 \\
\end{array}
\right.
\]

Однако, так как функция \(y\) определена для любого значения \(x\), то мы можем просто описать график функции следующим образом:

\[y = -x^2 - 2|x| - 3\]

Теперь рассмотрим область, в которой функция \(y\) принимает значения. Поскольку вся функция определена для любого значения \(x\), она принимает значения во всей вещественной области, то есть для любого \(x\) функция даёт некоторое значение \(y\).

Скажите, пожалуйста, устраивает ли вас такой ответ или есть еще что-то, что вы хотели бы добавить?