Який діаметр описаного кола, якщо сторона правильного шестикутника має довжину

Давайте решим задачу о диаметре описанного круга вокруг правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник - это многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать свойство правильного шестиугольника, которое гласит, что каждый угол внутри правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Поскольку окружность является описанной вокруг правильного шестиугольника, это означает, что все вершины шестиугольника лежат на окружности.

Давайте обозначим диаметр описанной окружности как \(d\).

Так как центр окружности находится внутри шестиугольника, от каждой вершины шестиугольника до центра окружности есть радиус, который равен половине диаметра.

Заметим, что также от центра окружности к середине каждого ребра правильного шестиугольника также есть радиус окружности. Давайте обозначим такую сторону правильного шестиугольника как \(s\).

Теперь, если мы нарисуем радиус от центра окружности к середине каждого ребра, мы получим шесть равных треугольников.

В каждом из этих треугольников имеется одна сторона длиной \(s\) и угол между этой стороной и радиусом, равный 30 градусам (потому что мы изначально знаем, что угол внутри правильного шестиугольника равен 120 градусам).

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения радиуса.

Воспользуемся функцией косинуса, которая определяется отношением прилежащего катета к гипотенузе.

\[ \cos(30^\circ) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} \]

Так как противолежащий катет равен половине стороны \(s/2\), а гипотенуза равна радиусу окружности, мы можем переписать эту формулу следующим образом:

\[ \cos(30^\circ) = \frac{{\frac{{s}}{2}}}{{d}} \]

\[ \frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{s}}{{2d}} \]

Теперь мы можем найти диаметр описанного круга, выразив его из этого уравнения:

\[ 2d = \frac{{2s}}{{\sqrt{3}}} \]

\[ d = \frac{{s}}{{\sqrt{3}}} \]

Таким образом, диаметр описанного круга равен \( \frac{{s}}{{\sqrt{3}}} \).

Надеюсь, это пояснение полезно и понятно! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!