Який часовий інтервал періода піврозпаду спостерігається, якщо активність радіоактивного елемента зменшилась в 4 рази

Для розв"язання цієї задачі нам потрібно скористатися формулою, що описує розпад радіоактивного елемента.

Розпад радіоактивного елемента можна описати за допомогою інтегрального закону першого порядку:

\[N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

де:
- \(N(t)\) - кількість радіоактивного елемента в певний момент часу \(t\)
- \(N_0\) - початкова кількість радіоактивного елемента
- \(\lambda\) - константа розпаду радіоактивного елемента
- \(t\) - час, який пройшов з початку спостереження

У даній задачі ми знаємо, що активність радіоактивного елемента зменшилась в 4 рази протягом 8 днів. Активність радіоактивного елемента напряму пов"язана з кількістю радіоактивного елемента:

\[A(t) = -\frac{dN(t)}{dt}\]

За відомими даними ми можемо записати наступну рівність:

\[A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t} = -\frac{dN(t)}{dt}\]

де \(A_0\) - початкова активність радіоактивного елемента.

Знаючи, що активність зменшилась в 4 рази, ми можемо записати:

\[A(t+\Delta t) = \frac{1}{4} A(t)\]

де \(\Delta t\) - час, протягом якого змінилась активність.

Підставляючи вирази для активності і кількості радіоактивного елемента, отримуємо:

\[-\frac{dN(t+\Delta t)}{dt} = \frac{1}{4} \cdot (-\frac{dN(t)}{dt}) \Rightarrow \frac{dN(t)}{dt} = \frac{1}{4} \cdot \frac{dN(t+\Delta t)}{dt}\]

Тепер, використовуючи формулу розпаду, ми можемо записати:

\[\lambda N(t) = \frac{1}{4} \lambda N(t+\Delta t)\]

\[e^{-\lambda t} = \frac{1}{4} e^{-\lambda (t+\Delta t)}\]

Звідси ми можемо виявити, що:

\[-\lambda t = \ln(\frac{1}{4}) - \lambda (t+\Delta t)\]

\[\lambda \Delta t = \ln(\frac{1}{4})\]

\[\Delta t = \frac{\ln(\frac{1}{4})}{\lambda}\]

Отже, ми знаходимо, що часовий інтервал періода піврозпаду дорівнює \(\frac{\ln(\frac{1}{4})}{\lambda}\) днів.

Для розв"язування задачі нам ще потрібно значення константи розпаду радіоактивного елемента. Будь ласка, надайте цю інформацію, щоб я зміг продовжити розв"язання задачі.