Який буде радіус основи конуса, який утвориться при обертанні прямокутного трикутника з гіпотенузою 6 см і одним

Для решения этой задачи нам потребуется применить теорему Пифагора и свойства сходства треугольников.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 6 см, а один из острых углов равен 30 градусов. Мы хотим найти радиус основания конуса, который образуется при повороте этого треугольника вокруг более длинного катета.

По теореме Пифагора, мы знаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, можно записать уравнение:

\(a^2 + b^2 = c^2\),

где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника, а \(c\) - гипотенуза.

Используя свойства сходства треугольников, мы можем установить соотношение между сторонами и высотами:

\(\frac{H}{h} = \frac{C}{c}\),

где \(H\) - высота основания конуса, \(h\) - высота треугольника, \(C\) - окружность, образуемая основанием конуса, и \(c\) - гипотенуза треугольника.

Мы знаем, что гипотенуза равна 6 см, а один из углов равен 30 градусов. Так как синус 30 градусов равен 0,5, мы можем выразить один из катетов через другой:

\(a = 6 \cdot 0,5 = 3\) см.

Теперь мы можем найти второй катет:

\(b^2 = c^2 - a^2\),
\(b^2 = 6^2 - 3^2\),
\(b^2 = 36 - 9\),
\(b^2 = 27\),
\(b = \sqrt{27}\).

Таким образом, катет \(b\) равен \(\sqrt{27}\) см.

Чтобы найти радиус основания конуса, нам также нужно найти высоту треугольника \(h\). Мы можем воспользоваться свойством сходства треугольников и отношением высот:

\(\frac{H}{h} = \frac{C}{c}\),
\(\frac{H}{h} = \frac{b}{c}\),
\(\frac{H}{h} = \frac{\sqrt{27}}{6}\),
\(H = \frac{\sqrt{27}}{6} \cdot h\).

Теперь нам нужно выразить высоту треугольника \(h\) через один из катетов. Мы знаем, что треугольник прямоугольный, и один из катетов равен 3 см. Мы можем применить свойство тригонометрического косинуса:

\(\cos(\angle ABC) = \frac{a}{c}\),
\(\cos(30^\circ) = \frac{3}{6}\),
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}\),
\(\sqrt{3} = 1\).

Таким образом, высота треугольника \(h\) равна \(3\sqrt{3}\) см.

Наконец, мы можем найти радиус основания конуса \(R\) по формуле:

\(R = \frac{H}{3}\),
\(R = \frac{\frac{\sqrt{27}}{6} \cdot h}{3}\),
\(R = \frac{\frac{\sqrt{27}}{6} \cdot 3\sqrt{3}}{3}\),
\(R = \frac{\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}}{6}\),
\(R = \frac{\sqrt{81}}{6}\),
\(R = \frac{9}{6}\),
\(R = \frac{3}{2}\).

Итак, радиус основания конуса будет равен \(\frac{3}{2}\) см.

Пожалуйста, проверьте полученное решение самостоятельно, чтобы убедиться, что я не допустил ошибку в вычислениях. Я готов помочь вам с пониманием этой задачи.