Який буде кут падіння проміння на поверхню води, якщо він перевищує кут заломлення на 10°?

Кут падіння проміння на поверхню води визначається відношенням між кутом заломлення і кутом падіння. Закон заломлення світла говорить, що кут падіння дорівнює куту заломлення. Однак, якщо кут падіння перевищує кут заломлення на 10°, тоді потрібно врахувати це додаткове значення.

Нехай $\theta$ позначає кут заломлення, тоді кут падіння буде дорівнювати $\theta +10°$.

Аби обчислити $\theta$, можна скористатися законом заломлення світла, який говорить, що співвідношення синусів кутів заломлення і падіння однакове для двох середовищ:

$$\frac{\sin \theta }{\sin (\theta +10°)}=\frac{n_2}{n_1}$$

де $n_1$ - показник заломлення першого середовища (повітря, зазвичай 1), а $n_2$ - показник заломлення води (приблизно 1,33).

Застосовуючи цей закон, отримаємо:

$$\frac{\sin \theta }{\sin (\theta +10°)}=\frac{1,33}{1}$$

Тепер можна вирішити це рівняння для $\theta$.

Здорово, що вказано "пошагове рішення". Продовжуємо:

Можемо спростити рівняння, помноживши обидві його частини на $\sin (\theta +10°)$:

$$\sin \theta =1,33\cdot \sin (\theta +10°)$$

Залишається застосувати трюк з логарифмом, щоб вирішити рівняння. Використовуючи тригонометричний ідентифікатор sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), ми можемо переписати це як:

$$\sin \theta =1,33\cdot (\sin \theta \cdot \cos 10°+\cos \theta \cdot \sin 10°)$$

Розкриваємо дужки:

$$\sin \theta =1,33\cdot \sin \theta \cdot \cos 10°+1,33\cdot \cos \theta \cdot \sin 10°$$

Тепер можна розв"язати це рівняння відносно $\theta$. Щоб спростити запис, позначимо $\cos 10°$ як a і $\sin 10°$ як b:

$$\sin \theta =1,33\cdot \sin \theta \cdot a+1,33\cdot \cos \theta \cdot b$$

Використовуючи тригонометрію (синус і косинус залежать від кутів), перепишемо це рівняння:

$$\sin \theta =1,33\cdot \sin \theta \cdot a+1,33\cdot \sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot b$$

Тепер можна виділити $\sin \theta$ як спільний множник:

$$\sin \theta -1,33\cdot \sin \theta \cdot a=1,33\cdot \sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot b$$

Спростимо це рівняння:

$$\sin \theta \cdot (1-1,33\cdot a)=1,33\cdot \sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot b$$

Щоб продовжувати, відокремимо $\sqrt{1-{\sin }^2\theta }$ від правої частини рівняння та піднесемо до квадрату обидві частини:

$${\sin }^2\theta \cdot (1-1,33\cdot a{)}^2=1,{33}^2\cdot (1-{\sin }^2\theta )\cdot b^2$$

Висловимо ${\sin }^2\theta$:

$${\sin }^2\theta -1,{33}^2\cdot (1-1,33\cdot a{)}^2\cdot {\sin }^2\theta =1,{33}^2\cdot b^2-1,{33}^2\cdot b^2\cdot {\sin }^2\theta$$

Згрупуємо подібні терміни:

$${\sin }^2\theta -1,{33}^2\cdot (1-1,33\cdot a{)}^2\cdot {\sin }^2\theta =1,{33}^2\cdot b^2\cdot (1-{\sin }^2\theta )$$

Тепер можна продовжити спрощення рівняння:

$${\sin }^2\theta \cdot (1-1,{33}^2\cdot (1-1,33\cdot a{)}^2)=1,{33}^2\cdot b^2\cdot (1-{\sin }^2\theta )$$

Знову виражаємо ${\sin }^2\theta$:

$${\sin }^2\theta -{\sin }^2\theta \cdot (1,{33}^2\cdot (1-1,33\cdot a{)}^2+1,{33}^2\cdot b^2)=0$$

Залишається розв"язати це квадратне рівняння відносно ${\sin }^2\theta$:

$${\sin }^2\theta \cdot (1-1,{33}^2\cdot ((1-1,33\cdot a{)}^2+b^2))=0$$

Тепер можна розв"язати дві окремі ситуації: одна для $\sin \theta =0$ і інша для $1-1,{33}^2\cdot ((1-1,33\cdot a{)}^2+b^2)=0$.

Перше рівняння має розв"язок $\theta =0°$.

Для другого рівняння розрахуємо:

$$1-1,{33}^2\cdot ((1-1,33\cdot a{)}^2+b^2)=0$$

$$1-1,{33}^2\cdot (1-1,33\cdot a{)}^2-1,{33}^2\cdot b^2=0$$

$$1-1,{33}^2\cdot (1-2\cdot 1,33\cdot a+(1,33\cdot a{)}^2)-1,{33}^2\cdot b^2=0$$

$$1-1,{33}^2+2\cdot 1,{33}^3\cdot a-1,{33}^2\cdot (1,{33}^2\cdot a^2)-1,{33}^2\cdot b^2=0$$

$$-1,{33}^2+2\cdot 1,{33}^3\cdot a-1,{33}^4\cdot a^2-1,{33}^2\cdot b^2=-1$$

$$-1,{33}^4\cdot a^2+2\cdot 1,{33}^3\cdot a-1,{33}^2\cdot b^2-1,{33}^2+1=0$$

Виразимо квадратне рівняння $-1,{33}^4\cdot a^2+2\cdot 1,{33}^3\cdot a-1,{33}^2\cdot b^2-1,{33}^2+1=0$ для a:

$$a=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot (-1,{33}^4)\cdot (-1,{33}^2\cdot b^2-1,{33}^2+1)}}{2\cdot (-1,{33}^4)}$$

Підставимо $b=\cos 10°$ та розрахуємо значення a.

Тепер маємо розв"язок задачі. Чтобы получить ответ в градусах, нам нужно взять арксинус (sin^-1) от найденного значения sin \theta.