Який буде кут падіння проміння на поверхню води, якщо він перевищує кут заломлення на 10°?

Кут падіння проміння на поверхню води визначається відношенням між кутом заломлення і кутом падіння. Закон заломлення світла говорить, що кут падіння дорівнює куту заломлення. Однак, якщо кут падіння перевищує кут заломлення на 10°, тоді потрібно врахувати це додаткове значення.

Нехай \( \theta \) позначає кут заломлення, тоді кут падіння буде дорівнювати \( \theta + 10° \).

Аби обчислити \( \theta \), можна скористатися законом заломлення світла, який говорить, що співвідношення синусів кутів заломлення і падіння однакове для двох середовищ:

\[ \frac{\sin{\theta}}{\sin{(\theta + 10°)}} = \frac{n_2}{n_1} \]

де \( n_1 \) - показник заломлення першого середовища (повітря, зазвичай 1), а \( n_2 \) - показник заломлення води (приблизно 1,33).

Застосовуючи цей закон, отримаємо:

\[ \frac{\sin{\theta}}{\sin{(\theta + 10°)}} = \frac{1,33}{1} \]

Тепер можна вирішити це рівняння для \( \theta \).

Здорово, що вказано "пошагове рішення". Продовжуємо:

Можемо спростити рівняння, помноживши обидві його частини на \( \sin{(\theta + 10°)} \):

\[ \sin{\theta} = 1,33 \cdot \sin{(\theta + 10°)} \]

Залишається застосувати трюк з логарифмом, щоб вирішити рівняння. Використовуючи тригонометричний ідентифікатор sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), ми можемо переписати це як:

\[ \sin{\theta} = 1,33 \cdot (\sin{\theta} \cdot \cos{10°} + \cos{\theta} \cdot \sin{10°}) \]

Розкриваємо дужки:

\[ \sin{\theta} = 1,33 \cdot \sin{\theta} \cdot \cos{10°} + 1,33 \cdot \cos{\theta} \cdot \sin{10°} \]

Тепер можна розв"язати це рівняння відносно \( \theta \). Щоб спростити запис, позначимо \( \cos{10°} \) як a і \( \sin{10°} \) як b:

\[ \sin{\theta} = 1,33 \cdot \sin{\theta} \cdot a + 1,33 \cdot \cos{\theta} \cdot b \]

Використовуючи тригонометрію (синус і косинус залежать від кутів), перепишемо це рівняння:

\[ \sin{\theta} = 1,33 \cdot \sin{\theta} \cdot a + 1,33 \cdot \sqrt{1 - \sin^2{\theta}} \cdot b \]

Тепер можна виділити \( \sin{\theta} \) як спільний множник:

\[ \sin{\theta} - 1,33 \cdot \sin{\theta} \cdot a = 1,33 \cdot \sqrt{1 - \sin^2{\theta}} \cdot b \]

Спростимо це рівняння:

\[ \sin{\theta} \cdot (1 - 1,33 \cdot a) = 1,33 \cdot \sqrt{1 - \sin^2{\theta}} \cdot b \]

Щоб продовжувати, відокремимо \( \sqrt{1 - \sin^2{\theta}} \) від правої частини рівняння та піднесемо до квадрату обидві частини:

\[ \sin^2{\theta} \cdot (1 - 1,33 \cdot a)^2 = 1,33^2 \cdot (1 - \sin^2{\theta}) \cdot b^2 \]

Висловимо \( \sin^2{\theta} \):

\[ \sin^2{\theta} - 1,33^2 \cdot (1 - 1,33 \cdot a)^2 \cdot \sin^2{\theta} = 1,33^2 \cdot b^2 - 1,33^2 \cdot b^2 \cdot \sin^2{\theta} \]

Згрупуємо подібні терміни:

\[ \sin^2{\theta} - 1,33^2 \cdot (1 - 1,33 \cdot a)^2 \cdot \sin^2{\theta} = 1,33^2 \cdot b^2 \cdot (1 - \sin^2{\theta}) \]

Тепер можна продовжити спрощення рівняння:

\[ \sin^2{\theta} \cdot (1 - 1,33^2 \cdot (1 - 1,33 \cdot a)^2) = 1,33^2 \cdot b^2 \cdot (1 - \sin^2{\theta}) \]

Знову виражаємо \( \sin^2{\theta} \):

\[ \sin^2{\theta} - \sin^2{\theta} \cdot (1,33^2 \cdot (1 - 1,33 \cdot a)^2 + 1,33^2 \cdot b^2) = 0 \]

Залишається розв"язати це квадратне рівняння відносно \( \sin^2{\theta} \):

\[ \sin^2{\theta} \cdot (1 - 1,33^2 \cdot ((1 - 1,33 \cdot a)^2 + b^2)) = 0 \]

Тепер можна розв"язати дві окремі ситуації: одна для \( \sin{\theta} = 0 \) і інша для \( 1 - 1,33^2 \cdot ((1 - 1,33 \cdot a)^2 + b^2) = 0 \).

Перше рівняння має розв"язок \( \theta = 0° \).

Для другого рівняння розрахуємо:

\[ 1 - 1,33^2 \cdot ((1 - 1,33 \cdot a)^2 + b^2) = 0 \]

\[ 1 - 1,33^2 \cdot (1 - 1,33 \cdot a)^2 - 1,33^2 \cdot b^2 = 0 \]

\[ 1 - 1,33^2 \cdot (1 - 2 \cdot 1,33 \cdot a + (1,33 \cdot a)^2) - 1,33^2 \cdot b^2 = 0 \]

\[ 1 - 1,33^2 + 2 \cdot 1,33^3 \cdot a - 1,33^2 \cdot (1,33^2 \cdot a^2) - 1,33^2 \cdot b^2 = 0 \]

\[ - 1,33^2 + 2 \cdot 1,33^3 \cdot a - 1,33^4 \cdot a^2 - 1,33^2 \cdot b^2 = - 1 \]

\[ - 1,33^4 \cdot a^2 + 2 \cdot 1,33^3 \cdot a - 1,33^2 \cdot b^2 - 1,33^2 + 1 = 0 \]

Виразимо квадратне рівняння \( - 1,33^4 \cdot a^2 + 2 \cdot 1,33^3 \cdot a - 1,33^2 \cdot b^2 - 1,33^2 + 1 = 0 \) для a:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot (- 1,33^4) \cdot (- 1,33^2 \cdot b^2 - 1,33^2 + 1)}}{2 \cdot (- 1,33^4)} \]

Підставимо \( b = \cos{10°} \) та розрахуємо значення a.

Тепер маємо розв"язок задачі. Чтобы получить ответ в градусах, нам нужно взять арксинус (sin^-1) от найденного значения sin \theta.