Якішний інтеграл, щоб знайти площу фігури, огородженої кривими y=x^2, y=0 і x=2. Знайти відповідний інтеграл

Щоб знайти площу фігури, обмеженої кривими \(y=x^2\), \(y=0\) і \(x=2\), нам потрібно обчислити відповідний інтеграл якісного. Давайте розберемося крок за кроком.

1. Почнемо з того, що визначимо межі інтегрування. За умовою задачі нам потрібно обчислити площу фігури, обмеженої кривими \(y=x^2\), \(y=0\) і \(x=2\). Зауважимо, що крива \(y=0\) відповідає осі \(x\), тому нам потрібно обчислити відповідний інтеграл від \(x=0\) до \(x=2\).

2. Другим кроком є визначення функції, яку інтегруємо. В даному випадку, ми інтегруємо функцію, що відображає різницю між кривими \(y=x^2\) і \(y=0\). Оскільки крива \(y=x^2\) розташована над \(y=0\), то різниця між цими кривими буде \(y=x^2 - 0\), яке спрощується до \(y=x^2\).

3. Тепер ми можемо записати наш інтеграл якісно. Площа фігури обмеженої кривими \(y=x^2\), \(y=0\) і \(x=2\) обчислюється за формулою:

\[
\text{{Площа}} = \int_{{a}}^{{b}} (f(x) - g(x)) dx
\]

де \(f(x)\) - верхня функція (у нашому випадку \(f(x) = x^2\)), \(g(x)\) - нижня функція (у нашому випадку \(g(x) = 0\)), а \(a\) та \(b\) - межі інтегрування. У нашому випадку \(a = 0\) та \(b = 2\).

4. Тепер обчислимо інтеграл. Підставимо \(f(x)\) та \(g(x)\) у вираз для інтегралу:

\[
\text{{Площа}} = \int_{{0}}^{{2}} (x^2 - 0) dx
\]

5. Знайдемо антипохідну від функції \(x^2\) та обчислимо інтеграл:

\[
\text{{Площа}} = \left[\frac{{x^3}}{3}\right]_{{0}}^{{2}} = \frac{{2^3}}{3} - \frac{{0^3}}{3} = \frac{{8}}{3}
\]

Отже, площа фігури, обмеженої кривими \(y=x^2\), \(y=0\) і \(x=2\), дорівнює \(\frac{{8}}{3}\) квадратними одиницями.