Яким є синус найбільшого кута прямокутного трикутника, якщо два його катети, менші за гіпотенузу на 2 см та

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о связи между тригонометрическими функциями и прямоугольными треугольниками.

В этой задаче, пусть \(a\) и \(b\) - длины катетов прямоугольного треугольника, а \(c\) - длина гипотенузы.

У нас также есть следующая информация:
\(a = c - 2\) (первый катет меньше гипотенузы на 2 см)
\(b = c - 4\) (второй катет меньше гипотенузы на 4 см)

Из теоремы Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется соотношение:
\(a^2 + b^2 = c^2\)

Мы можем заменить \(a\) и \(b\) в этом уравнении, используя данные из условия задачи:
\((c - 2)^2 + (c - 4)^2 = c^2\)

Теперь раскроем скобки и решим это уравнение:

\(c^2 - 4c + 4 + c^2 - 8c + 16 = c^2\)

Соединим подобные члены и упростим:

\(2c^2 - 12c + 20 = c^2\)

Вычтем \(c^2\) из обоих частей уравнения:

\(c^2 - 12c + 20 = 0\)

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации. В данном случае, мы используем факторизацию:

\((c - 10)(c - 2) = 0\)

Таким образом, это уравнение имеет два возможных значения для \(c\):
1) \(c - 10 = 0\), откуда \(c = 10\);
2) \(c - 2 = 0\), что дает \(c = 2\).

Однако, гипотенуза не может быть меньше катетов, поэтому отбрасываем \(c = 2\) в данной задаче. Таким образом, \(c = 10\).

Теперь мы можем вычислить синус наибольшего угла прямоугольного треугольника. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть \(\sin(\text{угол}) = \frac{{a}}{{c}}\).

Подставляем значения, которые у нас уже есть: \(a = c - 2\), \(c = 10\):

\(\sin(\text{угол}) = \frac{{10 - 2}}{{10}} = \frac{{8}}{{10}} = \frac{{4}}{{5}}\)

Таким образом, синус наибольшего угла прямоугольного треугольника равен \(\frac{{4}}{{5}}\).