1) What is the area of a circle and the length of its bounding circumference if the side of the inscribed equilateral

Задача 1:
Площадь круга можно найти по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга. Опираясь на данное условие, сторона вписанного равностороннего треугольника равна \(5\sqrt{3}\) см. Понятно, что радиус круга будет равен половине стороны вписанного треугольника. То есть \(r = \frac{5\sqrt{3}}{2}\) см.
Теперь мы можем найти площадь круга. Подставим значения в формулу:
\[S = \pi \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2\]
Раскроем скобки и упростим выражение:
\[S = \pi \cdot \frac{75}{4}\]
\[S = \frac{75\pi}{4}\]
Таким образом, площадь круга составляет \(\frac{75\pi}{4}\) квадратных сантиметров.

Что касается длины ограничивающей окружности, то она равна длине окружности с радиусом \(r\). Формула для вычисления длины окружности: \(C = 2\pi r\).
Подставим значения в формулу:
\[C = 2\pi \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\]
Упростим выражение:
\[C = 5\sqrt{3}\pi\]
Таким образом, длина ограничивающей окружности равна \(5\sqrt{3}\pi\) сантиметров.

Задача 2:
Чтобы найти длину дуги окружности, мы можем использовать формулу \(L = \frac{2\pi r \cdot \theta}{360^\circ}\), где \(L\) - длина дуги, \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - угловая мера дуги в градусах.
В данном случае радиус окружности равен 4 сантиметрам. Угловая мера дуги составляет 120°. Подставим значения в формулу:
\[L = \frac{2\pi \cdot 4 \cdot 120}{360}\]
Упростим выражение:
\[L = \frac{8\pi \cdot 120}{360}\]
\[L = \frac{8\pi}{3}\]
Таким образом, длина дуги окружности составляет \(\frac{8\pi}{3}\) сантиметров.

Чтобы найти площадь соответствующего сектора окружности, мы можем использовать формулу \(S = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2\).
Подставим значения в формулу:
\[S = \frac{120}{360^\circ} \pi \cdot 4^2\]
Упростим выражение:
\[S = \frac{1}{3} \pi \cdot 16\]
\[S = \frac{16\pi}{3}\]
Таким образом, площадь соответствующего сектора окружности составляет \(\frac{16\pi}{3}\) квадратных сантиметров.

Задача 3:
Периметр равностороннего треугольника можно найти, умножив длину одной стороны на 3 (так как все стороны равны). В условии дано, что периметр равностороннего треугольника равен \(6\sqrt{3}\) дециметров. Поделим данное значение на 3, чтобы найти длину одной стороны:
\[a = \frac{6\sqrt{3}}{3}\]
\[a = 2\sqrt{3}\]
Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной около этого треугольника. Радиус равнобедренного треугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле \(R = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.
Подставим значения в формулу:
\[R = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\]
\[R = 1\]
Теперь мы можем найти периметр правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. Периметр правильного шестиугольника равен 6 раз длине радиуса окружности. Подставим значение в формулу:
\[P = 6 \cdot 1\]
\[P = 6\]
Таким образом, периметр правильного шестиугольника, описанного около данной окружности, равен 6 дециметрам.

Задача 4:
Для нахождения площади закрашенной фигуры нам необходимо разделить фигуру на две: треугольник ABC и сектор AOB окружности.
Площадь треугольника мы можем найти по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, \(C\) - угол между этими сторонами.
Мы знаем, что BC = 4, а угол BAC равен 30°. Также нам дан центр окружности O.
Чтобы найти длины сторон треугольника, нам нужно разделить BC на стороны треугольника. Используя свойство треугольника, мы находим, что BC = BA = 4 см.
Теперь мы можем найти угол BCA, используя факт, что сумма углов треугольника равна 180°:
\(\angle BCA = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\).
Теперь мы можем найти площадь треугольника. Подставим значения в формулу:
\[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ\]
Упростим выражение:
\[S_{\triangle ABC} = 8 \cdot \sin 120^\circ\]
Поскольку \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получим:
\[S_{\triangle ABC} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S_{\triangle ABC} = 4\sqrt{3}\]

Теперь давайте найдем площадь сектора окружности. Площадь сектора находится по формуле \(S = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - угловая мера сектора.
У нас есть радиус окружности и угол BOC равен 120°. Подставим значения в формулу:
\[S_{\text{сектора } AOB} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi \cdot 4^2\]
Упростим выражение:
\[S_{\text{сектора } AOB} = \frac{1}{3} \pi \cdot 16\]
\[S_{\text{сектора } AOB} = \frac{16\pi}{3}\]

Площадь закрашенной фигуры равна сумме площади треугольника ABC и площади сектора AOB:
\[S_{\text{закрашенной фигуры}} = S_{\triangle ABC} + S_{\text{сектора } AOB}\]
\[S_{\text{закрашенной фигуры}} = 4\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3}\]
Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна \(4\sqrt{3} + \frac{16\pi}{3}\) квадратных сантиметров.